Für eine Bohrmaschine soll ein Rühraufsatz entworfen werden, der aus einem rechteckigen Metallrahmen mit 30cm Umfang besteht. Wie müssen Länge x und Breite y des Rechtecks gewählt werden, wenn beim Rühren ein maximales Volumen umschlossen werden soll.
Ich habe schon V=r²*pi*h Als Hauptbedingung und 4r+2h=U als Nebenbedingung kann aber keinen für mich logischen zusammenhang herstellen.
+26397 Kannst du da nicht vielleicht Zwischenschritte beim Umformen der V(x) Formel mit angeben?
Ich versteh gar nicht wie du darauf kommst.. :(
\(\begin{array}{rcll} V = \pi\cdot r^2 \cdot h \qquad r = \frac{x}{2} \qquad h = y\\\\ V&=& \pi\cdot r^2 \cdot h \qquad & | \qquad r = \frac{x}{2} \\\\ V&=& \pi\cdot (\frac{x}{2})^2 \cdot h \\\\ V&=& \pi\cdot (\frac{x}{2})^2 \cdot h \qquad & | \qquad h = y \\\\ V&=& \pi\cdot (\frac{x}{2})^2 \cdot y \\\\ V&=& \pi\cdot (\frac{x}{2})^2 \cdot y \qquad & | \qquad y=\frac{U-2x}{2} \\\\ V(x)&=& \pi\cdot (\frac{x}{2})^2 \cdot (\frac{U-2x}{2}) \\\\ V(x)&=& \pi\cdot \frac{x^2}{2^2} \cdot (\frac{U-2x}{2}) \\\\ V(x)&=& \pi\cdot \frac{x^2}{4} \cdot (\frac{U-2x}{2}) \\\\ V(x)&=& \pi\cdot \frac{x^2}{4\cdot 2} \cdot (U-2x) \\\\ V(x)&=& \pi\cdot \frac{x^2}{8} \cdot (U-2x) \\\\ V(x)&=& \frac{\pi}{8} \cdot x^2\cdot (U-2x) \\\\ V(x)&=& \frac{\pi}{8} \cdot x^2 \cdot U - \frac{\pi}{8}\cdot x^2 \cdot(2x) \\\\ V(x)&=& \frac{\pi}{8} \cdot x^2 \cdot U - \frac{\pi}{8}\cdot(2x) \cdot x^2 \\\\ V(x)&=& \frac{\pi}{8} \cdot x^2 \cdot U - \frac{\pi}{8}\cdot 2 \cdot x^3 \\\\ \end{array} \)
+26397 Für eine Bohrmaschine soll ein Rühraufsatz entworfen werden, der aus einem rechteckigen Metallrahmen mit 30cm Umfang besteht. Wie müssen Länge x und Breite y des Rechtecks gewählt werden, wenn beim Rühren ein maximales Volumen umschlossen werden soll.Ich habe schon V=r²*pi*h Als Hauptbedingung und 4r+2h=U als Nebenbedingung kann aber keinen für mich logischen zusammenhang herstellen.
I.
$$\\\boxed{U=2x+2y }\quad | \quad -2x \\\\
2y=U-2x \quad | \quad :2 \\\\
\boxed{ y=\dfrac{U-2x}{2} }$$
II.
$$V=\pi\cdot r^2\cdot h \qquad r=\frac{x}{2} \qquad h = y \\\\
V=\pi \cdot \dfrac{x^2}{4} \cdot y \\
V(x) = \pi \cdot \dfrac{x^2}{4} \cdot \left( \dfrac{U-2x}{2} \right)\\\\
\boxed{ V(x) = \dfrac{\pi}{8} \cdot x^2 \cdot \left( U-2x \right) }\\\\
V(x) = \dfrac{\pi}{8} \cdot x^2 \cdot U - \dfrac{\pi}{8}\cdot 2 \cdot x^3\\\\
V'(x) = \dfrac{\pi}{8} \cdot 2\cdot x \cdot U -\dfrac{\pi}{8}\cdot 2 \cdot 3 \cdot x^2$$
V'(x) wird 0 gesetzt:
$$V'(x) = \dfrac{\pi}{4}
\left( x \cdot U - 3 \cdot x^2 \right) = 0 \\\\
x \cdot U - 3 \cdot x^2 = 0 \\\\
3 \cdot x^2 = x \cdot U\\\\
3 \cdot x = U\\\\
\boxed{x = \dfrac{U}{3}} \qquad U=30\ \rm{cm} \\\\
x= \dfrac{30}{3} \ \rm{cm} \\\\
\textcolor[rgb]{1,0,0}{x= 10\ \rm{cm}}$$
$$\boxed{ y=\dfrac{U-2x}{2} } \\\\
y=\dfrac{30-2\cdot 10}{2} \ \rm{cm} = (15 - 10) \ \rm{cm}\\\\
\textcolor[rgb]{1,0,0}{y= 5 \ \rm{cm}}$$
@heureka
Kannst du da nicht vielleicht Zwischenschritte beim Umformen der V(x) Formel mit angeben?
Ich versteh gar nicht wie du darauf kommst.. :(
+26397 Kannst du da nicht vielleicht Zwischenschritte beim Umformen der V(x) Formel mit angeben?
Ich versteh gar nicht wie du darauf kommst.. :(
\(\begin{array}{rcll} V = \pi\cdot r^2 \cdot h \qquad r = \frac{x}{2} \qquad h = y\\\\ V&=& \pi\cdot r^2 \cdot h \qquad & | \qquad r = \frac{x}{2} \\\\ V&=& \pi\cdot (\frac{x}{2})^2 \cdot h \\\\ V&=& \pi\cdot (\frac{x}{2})^2 \cdot h \qquad & | \qquad h = y \\\\ V&=& \pi\cdot (\frac{x}{2})^2 \cdot y \\\\ V&=& \pi\cdot (\frac{x}{2})^2 \cdot y \qquad & | \qquad y=\frac{U-2x}{2} \\\\ V(x)&=& \pi\cdot (\frac{x}{2})^2 \cdot (\frac{U-2x}{2}) \\\\ V(x)&=& \pi\cdot \frac{x^2}{2^2} \cdot (\frac{U-2x}{2}) \\\\ V(x)&=& \pi\cdot \frac{x^2}{4} \cdot (\frac{U-2x}{2}) \\\\ V(x)&=& \pi\cdot \frac{x^2}{4\cdot 2} \cdot (U-2x) \\\\ V(x)&=& \pi\cdot \frac{x^2}{8} \cdot (U-2x) \\\\ V(x)&=& \frac{\pi}{8} \cdot x^2\cdot (U-2x) \\\\ V(x)&=& \frac{\pi}{8} \cdot x^2 \cdot U - \frac{\pi}{8}\cdot x^2 \cdot(2x) \\\\ V(x)&=& \frac{\pi}{8} \cdot x^2 \cdot U - \frac{\pi}{8}\cdot(2x) \cdot x^2 \\\\ V(x)&=& \frac{\pi}{8} \cdot x^2 \cdot U - \frac{\pi}{8}\cdot 2 \cdot x^3 \\\\ \end{array} \)
