heureka

Wenn ich 650 euro verdiene und 17,5 Stunden in der woche arbeite,wie hoch ist dan mein Stundenlohn ?

$$\dfrac
{ 650\ \text{Euro} }
{ 17,5\ \text{Std.} } \\\\
= 37\ \dfrac{\text{Euro}}{\text{Std.} }\\\\
=\dfrac
{ 37\ \text{Euro} }
{ 1\ \text{Std.} } \\\\$$

37 Euro pro 1 Stunde

Wie kann man geradem und ungeraden dreisatz unterscheiden ?

Siehe gerader Dreisatz: $$\frac{a}{b} = \frac{c}{x}$$

What is the LCM of 8847 and 2532 ?

$$\small{\text{The following formula reduces the problem of computing the least common multiple}}\\
\small{\text{to the problem of computing the greatest common divisor (GCD), }}\\
\small{\text{also known as the greatest common factor:}}\\\\
\small{\text{
$
\boxed{lcm$(a,b)=\dfrac{|a\cdot b|}{\text{gcd}(a,b)} }
$
.
}}$$

There is the Euclidean algorithm for computing the GCD.

$$\small{\text{gcd$(8847,2532)$}} \\
\small{\text{$
\begin{array}{rrrr}
& & q & r\\
8847 & 2532 & 3 & 1251 \\
2532 & 1251 & 2 & 30\\
1251 & 30 & 41 & 21\\
30 & 21 & 1 & 9 \\
21 & 9 & 2 & \textcolor[rgb]{1,0,0}{3} \\
9 & 3 & 3 & $ algorithm Ends $ 0
\end{array}
$}}\\\\
\small{\text{gcd$(8847,2532)$}} = 3 \\$$

$$\small{\text{lcm$(8847,2532)=\dfrac{|8847\cdot 2532|}{3} = 7466868 $}}$$

Zwei Orte A und B möchten an einem in der Nähe befindlichen, geradlinigen Abschnitt CD eines Flussufers eine gemeinsame Trinkwasseraufbereitungsanlage E errichten. Wo ist diese anzulegen, damit die Gesamtlänge der geradlinigen Rohrleitungen AE und BE möglichst niedrig ist ?

$$AE=l_1: \quad l_1^2=6^2+x^2\qquad BE=l_2: \quad l_2^2=12^2+(30-x)^2$$

$$\\\small{\text{Gesamtl$\ddot{a}$nge Rohrleitungen L = }}\ l_1+l_2 =\sqrt{6^2+x^2}+\sqrt{12^2+(30-x)^2}\\\\
\small{\text{$L(x)$ soll zum Minimum werden: }} \qquad
L(x) = \sqrt{36+x^2}+\sqrt{144+(30-x)^2}\\\\
L'(x) = \frac{\not{2}x} {\not{2} \sqrt{36+x^2} } +\frac{\not{2}(30-x)(-1)} {\not{2} \sqrt{144+(30-x)^2} }\\
\small{\text{$L'(x)$ wird auf 0 gesetzt: }} \qquad \frac{x} {\sqrt{36+x^2} } = \frac{(30-x)} {\sqrt{144+(30-x)^2} } \quad | \quad ()^2
\\\\
\small{\text{$\frac{x^2} {36+x^2} = \frac{(30-x)^2} {144+(30-x)^2 }$}} \\\\
\small{\text{$x^2*(144+(30-x)^2) = (36+x^2)(30-x)^2 $}}\\
\small{\text{$144x^2+x^2(30-x)^2 = (36+x^2)(30-x)^2 $}}\\
\small{\text{$144x^2 = (36+\not{x^2}-\not{x^2})(30-x)^2 $}}\\
\small{\text{$144x^2 = 36(30-x)^2 \quad | \quad : 36 $}} \\
\small{\text{$4x^2 = (30-x)^2 $}} \\
\small{\text{$4x^2 = 900-60x+x^2$}} \\
\small{\text{$3x^2 = 900-60x \quad | \quad : 3$}} \\
\small{\text{$x^2 = 300-20x $}}$$

$$\\\small{\text{$ x^2 +20x- 300 = 0 $}} \\
\small{\text{$ x_{1,2}= -10 \pm \sqrt{100+300} $}} \\
\small{\text{$ x_{1,2}= -10 \pm 20 $}} \\ \\
\small{\text{$ x_1= -10 + 20 $}} \\
\small{\text{$x_1 = 10 $}} \\ \\
\small{\text{$x_2 = -10-20 $}} \\
\small{\text{$x_2 = -30 \quad $ keine L$\ddot{o}$sung! } }$$

Wieviel gramm eis von 0 grad können geschmolzen und anschließend als dampf von 100 grad verwendet werden, wenn eine wärmemenge von 60212,4 J zur verfügung stehen ?

$$\\Q_1 = m \cdot \lambda_S \quad \small{\text{ W$\ddot{a}$rmemenge zum Schmelzen des Eises
mit $\lambda_S = 333,5 \frac{kJ}{ kg}$ }} \\
Q_2 = m \cdot c_{\text{Wasser}} \cdot \Delta T \quad
\small{\text{
Erw$\ddot{a}$rmen auf $100 \ensurement{^{\circ}}C,\quad c_{Wasser} = 4,18\ \frac{kJ}{ kg\ K}$ }} \\
Q_3= m \cdot \lambda_D \quad \small{\text{ W$\ddot{a}$rmemenge zum Verdampfen des Wassers mit $\lambda_D = 2257\ \frac{kJ}{ kg}$ }} \\\\
Q_1+Q_2+Q_3 = Q = m ( \lambda_S + c_{\text{Wasser}} \cdot \Delta T+\lambda_D )
\\\\
\small{\text{
$
m = \dfrac{Q}
{
( \lambda_S + c_{\text{Wasser}} \cdot \Delta T+\lambda_D)
}
=
\dfrac{60212,4\ J\cdot \frac{1\ kJ}{1000\ J}}
{
(\ 333,5 + 4,18 \cdot 100+2257 \ )\frac{kJ}{ kg}
}
=0,02001409340\ kg
$}}\\\\
m=20\ g$$

siehe: "Eis zu Wasserdampf machen" Seite 6 ff.

und "Schmelz- und Verdampfungswärme" Seite 5

Two trains, each traveling at 60 kph [1 kilometer/minute] are on parallel tracks heading toward one another. One train is one-half kilometer long and the other train is two-thirds kilometer long. The fronts of the two trains pass the same point A at the same time. How many seconds does it take for the two trains to completely pass each other ?

$$v= 1\cdot \dfrac{km}{\text{min.}}\\\\
1.\ \text{ train speed*time: } \quad s_1 = vt \\
2.\ \text{ train speed*time: } \quad s_2 = vt \\\\
1.\ \text{ train long: } \quad l_1 = \frac{1}{2}\ km \\
2.\ \text{ train long: } \quad l_2 = \frac{2}{3}\ km \\\\
\boxed{s_1+s_2=l_1+l_2}\\\\
l_1+l_2 = vt+vt=2vt\\\\
\boxed{t=\dfrac{l_1+l_2}{2v}}\\\\
t = \dfrac{1}{2\cdot \dfrac{1\ km}{\ \text{min.}} }\cdot \left(
\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3}
\right)\ km$$

$$\\t = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{7}{6} \ \text{min.} \\\\
t = 0.58 \overline{3} \ \text{min.}\\ \\
t = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{7}{6} * 60 \ s \\\\
t = \dfrac{7*10}{2}\ s = 7*5 \ s \\ \\
t = 35 \ s$$

x²-2x- 8 = 0 solve by factorising quadratic equation

$$\\(-2)*(+4) = -8 \\
(-2) +4 = 2\\
\boxed{(x-4)(x+2) = x^2-2x-8=0 } \\
x_1 = -2\\
x_2 = 4$$

What does the ! mean ?

The subfactorial or left factorial, written, is the number of ways that n objects can be arranged where no object appears in its natural position (known as "derangements.")

The formula:

$$\begin{array}
$
!n = n! \cdot \displaystyle\sum^{n}_{i = 0} \frac{(-1)^i}{i!}
=n!\cdot\left(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots +(-1)^n \ \frac{1}{n!}
\right)$
\end{array}$$

Example !6:

$$\begin{array}
$
!6 = 6!\cdot\left(1-\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!} -\dfrac{1}{3!} +\dfrac{1}{4!} -\dfrac{1}{5!} + \dfrac{1}{6!} \right)= 265
$
\end{array}$$

Example !7:

$$\small{\text{$
\begin{array}{rcl}
!7 &=& 7! * \left(1-\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}-\dfrac{1}{5!}+\dfrac{1}{6!}-\dfrac{1}{7!}\right)\\\\
&=& 5040*\left(\not{1}-\not{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{24}-\frac{1}{120}+\frac{1}{720}-\frac{1}{5040}\right) \\\\
&=& \frac{5040}{2}-\frac{5040}{6}+\frac{5040}{24}-\frac{5040}{120}+\frac{5040}{720}-\frac{5040}{5040}\\\\
&=& 2520-840+210-42+7-1\\\\
&=&1854
\end{array}$}}$$