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Zwei Orte A und B möchten an einem in der Nähe befindlichen, geradlinigen Abschnitt CD eines Flussufers eine gemeinsame Trinkwasseraufbereitungsanlage E errichten. Wo ist diese anzulegen, damit die Gesamtlänge der geradlinigen Rohrleitungen AE und BE möglichst niedrig ist ?

$$AE=l_1: \quad l_1^2=6^2+x^2\qquad BE=l_2: \quad l_2^2=12^2+(30-x)^2$$

$$\\\small{\text{Gesamtl$\ddot{a}$nge Rohrleitungen L = }}\ l_1+l_2 =\sqrt{6^2+x^2}+\sqrt{12^2+(30-x)^2}\\\\ \small{\text{$L(x)$ soll zum Minimum werden: }} \qquad L(x) = \sqrt{36+x^2}+\sqrt{144+(30-x)^2}\\\\ L'(x) = \frac{\not{2}x} {\not{2} \sqrt{36+x^2} } +\frac{\not{2}(30-x)(-1)} {\not{2} \sqrt{144+(30-x)^2} }\\ \small{\text{$L'(x)$ wird auf 0 gesetzt: }} \qquad \frac{x} {\sqrt{36+x^2} } = \frac{(30-x)} {\sqrt{144+(30-x)^2} } \quad | \quad ()^2 \\\\ \small{\text{$\frac{x^2} {36+x^2} = \frac{(30-x)^2} {144+(30-x)^2 }$}} \\\\ \small{\text{$x^2*(144+(30-x)^2) = (36+x^2)(30-x)^2 $}}\\ \small{\text{$144x^2+x^2(30-x)^2 = (36+x^2)(30-x)^2 $}}\\ \small{\text{$144x^2 = (36+\not{x^2}-\not{x^2})(30-x)^2 $}}\\ \small{\text{$144x^2 = 36(30-x)^2 \quad | \quad : 36 $}} \\ \small{\text{$4x^2 = (30-x)^2 $}} \\ \small{\text{$4x^2 = 900-60x+x^2$}} \\ \small{\text{$3x^2 = 900-60x \quad | \quad : 3$}} \\ \small{\text{$x^2 = 300-20x $}}$$

$$\\\small{\text{$ x^2 +20x- 300 = 0 $}} \\ \small{\text{$ x_{1,2}= -10 \pm \sqrt{100+300} $}} \\ \small{\text{$ x_{1,2}= -10 \pm 20 $}} \\ \\ \small{\text{$ x_1= -10 + 20 $}} \\ \small{\text{$x_1 = 10 $}} \\ \\ \small{\text{$x_2 = -10-20 $}} \\ \small{\text{$x_2 = -30 \quad $ keine L$\ddot{o}$sung! } }$$