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Penn writes a 2013-term arithmetic sequence of positive integers, and Teller writes a different 2013-term arithmetic sequence of integers. Teller's first term is the negative of Penn's first term. Each then finds the sum of the terms in his sequence. If their sums are equal, then what is the smallest possible value of the first term in Penn's sequence?

Arithmetic series Penn: $$\small{
\text{
$p_n = p_1 + (n-1) d_p $
}}\ . \quad
\text{The sum} \
\text{
$ s_p= \frac{n}{2}*[2p_1+(n-1)d_p]
$
}}$$ 

Arithmetic series Teller: $$\small{\text{$t_n = t_1 + (n-1) d_t $
}}\ . \quad
\text{The sum} \
\text{
$ s_t= \frac{n}{2}*[2t_1+(n-1)d_t]
$
}}$$

I.

$$\small{\text{
$
s_p=s_t
$
}} $\\$
\small{\text{
$\frac{n}{2}*[2p_1+(n-1)d_p]=\frac{n}{2}*[2t_1+(n-1)d_t] $
}} $\\$
\small{\text{
$2p_1+(n-1)d_p = 2t_1+(n-1)d_t
$
}}$$

II.

$$\small{\text{
$
t_1= -p_1
$
}} $\\$
\small{\text{
$2p_1+(n-1)d_p = -2p_1
+(n-1)d_t
$
}} $\\$
\small{\text{
$4p_1 = (n-1)d_t - (n-1)d_p = (n-1)(d_t-d_p)
$
}}$$

III.

$$\small{\text{
$
n=2013$
}} $\\$
\small{\text{
$4p_1 = 2012(d_t-d_p)$
}} $\\$
\small{\text{
$p_1 = 503(d_t-d_p)$
}}$$

IV.

The smallest possible value of the first term in  Penn's sequence $$\small{\text{$p_1$}}$$ is 503, if $$\small{\text{$(d_t-d_p) = 1 $}}$$

need to find the one equivalent to n+3n+2n(squared) using distributive property

2n(n+2)

2n(n+1)

n(n+2)

2n(2n+2)

$$n+3n+2n^2 \\
= n(1+3+2n) \\
= n ( 4+2n ) \\
= n * 2(2+n) \\
=2n(n+2)$$

differentiate 3x4(x+2)

$$3*4(x+2) \\
=12(x+2) \\
=12x+24 \\ \\
\frac{\ d (12x+24)} { dx } = \frac{\ d (12x)} { dx }+\frac{\ d (24)} { dx } \\ \\
\frac{\ d (12x+24)} { dx } = 12+0 \\ \\
\frac{\ d (12x+24)} { dx } = 12$$

5^(x+2)+5^(x+1) Wie kommt man von diesem Term auf diesen: 6*5^(x+1)  ?

$$5^{(x+2)}+5^{(x+1)}\\
=5^{(x+1+1)}+5^{(x+1)}\\
=5^{(x+1)+1}+5^{(x+1)}\\
=5^{(x+1)}5^1+5^{(x+1)}\\
=5^{(x+1)}\left( 5^1+ 1 \right)\\
=5^{(x+1)} *6 \\
=6*5^{(x+1)}$$

Ein lebensmittelhändler erhält eine Lieferung von 12 Kisten Eier. In jeder Kiste befinden sich 8 Lagen Eier. In jeder dieser Lagen sind der Breite nach 5 Eier, der Länge nach 6 Eier. Wie viele Eier werden dem Händler geliefert ?

$$12 \ \text{Kisten} * \frac{ 8 \ \Text{Lagen} }{ 1 \ \text{Kiste}}*\frac { 5* 6 \ \text{Eier} }{ 1 \ \text{Lage} } = 12 * 8 * 5 * 6 \ \text{Eier}= 2880 \ \text{Eier}$$

Wie rechne ich beim pythagoras h aus ?

Im rechtwinkligen Dreieck gilt: $$h_c = \dfrac{a*b}{c}$$

The sum of 3 consecutive even integers is 84, what is the smallest of these 3 integers ?

smallest integer = n

n+ (n+2) + (n+4) = 84

3n +6 = 84  | -6

3n = 84 - 6

3n = 78 | :3

n = 78/3

n = 26

The 3 consecutive even integers are 26  28  30

The sum is 26+28+30 = 84

The smallest integer ist 26

n^5 + 4n -35  ist immer durch 5 teilbar:

Beweis durch vollständige Induktion:

I.  Induktionsanfang: Wir setzen für n = 0 ein. 0^5 + 4*0 - 35 = -35.   -35 ist durch 5 teilbar.

Unsere Induktionsvoraussetzung lautet n^5+4n-35 liefert für n=0 einen Wert, der durch 5 teilbar ist.

II. Induktionsschritt: Wir gehen von n auf n+1 über und setzen $$\small{\text{$(n+1)^5+4(n+1)-35$}}$$

Ist auch für n+1 der Wert durch 5 teilbar, so ist unsere Induktionsvoraussetzung bewiesen.

Wir lösen auf: $$\small{\text{
$(n+1)^5+4(n+1)-35 = (n^5+ 5n^4+10n^3+10n^2+5n + 1)+4n+4-35
$}}$$

Wir formen so um, dass die Induktionsvoraussetzung sichtbar wird:

$$\small{\text{
$(n^5+ 5n^4+10n^3+10n^2+5n + 1)+4n+4-35
=\underbrace{(n^5+4n-35)}_{\text{durch 5 teilbar, Induktionsvoraussetzung}} + \underbrace{5n^4+10n^3+10n^2+5n+5}_{\text{alle Terme sind durch 5 teilbar}}
$}}$$

Somit ist bewiesen, das $$\small{\text{$n^5+4n-35$}}$$ keine Primzahl außer der 5 liefern kann, denn alle Zahlen, die durch 5 teilbar sind, sind keine Primzahl ( außer der 5 ).

Gesucht sind alle natürlichen Zahlen n>=2 für die n^5 + 4n -35 eine Primzahl ist

Die einzige Primzahl liefert n = 2.

Für alle n ist n^5 + 4n -35 durch 5 teilbar. Die einzige Zahl die durch 5 teilbar ist und Primzahl ist, ist die Zahl 5.