Gesucht sind alle natürlichen Zahlen n>=2 für die n^5 + 4n -35 eine Primzahl ist

n^5 + 4n -35  ist immer durch 5 teilbar:

Beweis durch vollständige Induktion:

I.  Induktionsanfang: Wir setzen für n = 0 ein. 0^5 + 4*0 - 35 = -35.   -35 ist durch 5 teilbar.

Unsere Induktionsvoraussetzung lautet n^5+4n-35 liefert für n=0 einen Wert, der durch 5 teilbar ist.

II. Induktionsschritt: Wir gehen von n auf n+1 über und setzen $$\small{\text{$(n+1)^5+4(n+1)-35$}}$$

Ist auch für n+1 der Wert durch 5 teilbar, so ist unsere Induktionsvoraussetzung bewiesen.

Wir lösen auf: $$\small{\text{ $(n+1)^5+4(n+1)-35 = (n^5+ 5n^4+10n^3+10n^2+5n + 1)+4n+4-35 $}}$$

Wir formen so um, dass die Induktionsvoraussetzung sichtbar wird:

$$\small{\text{ $(n^5+ 5n^4+10n^3+10n^2+5n + 1)+4n+4-35 =\underbrace{(n^5+4n-35)}_{\text{durch 5 teilbar, Induktionsvoraussetzung}} + \underbrace{5n^4+10n^3+10n^2+5n+5}_{\text{alle Terme sind durch 5 teilbar}} $}}$$

Somit ist bewiesen, das $$\small{\text{$n^5+4n-35$}}$$  keine Primzahl außer der 5 liefern kann, denn alle Zahlen, die durch 5 teilbar sind, sind keine Primzahl ( außer der 5 ).

Gesucht sind alle natürlichen Zahlen n>=2 für die n^5 + 4n -35 eine Primzahl ist

Die einzige Primzahl liefert n = 2.

Für alle n ist n^5 + 4n -35 durch 5 teilbar. Die einzige Zahl die durch 5 teilbar ist und Primzahl ist, ist die Zahl 5.