heureka

$$\int {\frac{ 4 }{ \sqrt{ x^2 } } \ dx } =4*\int { \frac{ 1 }{ x } \ dx }\\ we \ substitute \ x=e^u \ then \ \ dx=e^u \ du\\ we \ have \ 4* \int { \frac{ e^u }{ e^u } \ du }=4*\int{ \ du }=4*u\\ u=\ln{ x} \\ solution: \ \ 4*\ln{ (x)}+c$$

sin(75)=cos(?)

I.   sin (75)  = cos ( 90 - 75 )       =  cos ( 15 )

II.  sin (75)  = cos ( -(90 - 75) )   =  cos ( -15 )

Auf wie viele Nullen endet  in der Dezimaldarstellung? Begründung durch Benutzung des binomischen Lehrsatzes.

$$\\ \small{\text{ $11^{100}-1 = (10+1)^{100}-1 $ }}$\\$ \small{\text{ $=10^{100}+\binom{100}{1}*10^{99} +\binom{100}{2}*10^{98} +\binom{100}{3}*10^{97} + \dots +\binom{100}{97}*10^3 +\binom{100}{98}*10^2+\binom{100}{99}*10^1+\binom{100}{100}*1-1 $ }}$\\$ \small{\text{ $=10^{100}+100*10^{99} +\binom{100}{2}*10^{98} +\binom{100}{3}*10^{97} + \dots +\binom{100}{97}*10^3 +\binom{100}{98}*10^2+100*10^1+1*1-1 $ }}$\\$ \small{\text{ $=10^{100}+100*10^{99} +\binom{100}{2}*10^{98} +\binom{100}{3}*10^{97} + \dots +\binom{100}{97}*10^3 +495000+1000$ }}$\\$ \small{\text{ $= \underbrace{10^{100}+100*10^{99} +\binom{100}{2}*10^{98} +\binom{100}{3}*10^{97} + \dots +\binom{100}{97}*10^3}_{Hier\ haben\ alle\ Terme\ >=\ 4\ Nullen} +49\textcolor[rgb]{0,0,1}{6}\textcolor[rgb]{1,0,0}{000}$ }}$$

Die Dezimaldarstellung endet auf 3 Nullen.

does the side lengths 8,15,17 make a right triangle

a = 8    b = 15    c = 17

$$\\ \small{\text{ $ a^2 \stackrel?= c^2-b^2 =(c-b)(c+b) $ }}$\\$ \small{\text{ $ a^2 \stackrel?= (c-b)(c+b) $ }}$\\$ \small{\text{ $ 8*8 \stackrel?= (17-15)(17+15) $ }}$\\$ \small{\text{ $ 64 \stackrel?= (2)*(32) $ }}$\\$ \small{\text{ $ 64 = 64 $ }}$$

Yes, it is a right triangle

wie rechnet man index körpergewicht zum beispiel 20

Für den BMI ( Body Mass Index ) werden das Gewicht in kg und die  Körpergröße in Meter benötigt.

$$\boxed{ BMI = \dfrac{ Gewicht }{ K\ddot{o}rpergr\ddot{o} \ss{}e * K\ddot{o}rpergr\ddot{o} \ss{} e} } \\\\ Gewicht = 40 kg\\ Gr\ddot{o}\ss{}e =1,40 m \\ BMI = \frac {40}{1,4*1,4} = 20.4$$

x^3 = 2x+1

$$x^3 -2x-1 = 0 \qquad \Rightarrow x_1=-1 \\ \\ (x^3 -2x-1) : (x+1) = x^2-x-1 \\\\ (x+1)\underbrace{(x^2-x-1)}_{=0} = 0\\\\ x^2-x-1 = 0\\ x_{2,3}=\frac{ 1\pm\sqrt{1-1*4*(-1)} } {2*1} = \frac{ 1\pm\sqrt{5 } } {2} \\ \\ x_2 = \frac{1+\sqrt{5}}{2} =1.61803398875 \\\\ x_3 = \frac{1-\sqrt{5}}{2} =-0.61803398875$$

ds/dt=t(3t-2) and s=0 when t=1

$$\small{\text{ $ \begin{array}{rcl} \dfrac{\ ds}{\ dt} &=& t(3t-2) = 3t^2-2t \\\\ \ ds &=& (3t^2-2t) \ dt \quad | \quad \int\\ \\ \int{\ ds} = s &=& \int{ (3t^2-2t) \ dt }\\ \\ s &=& 3\int{t^2\ dt }-2\int{t\ dt } \\ \\ s &=& 3 \frac{t^3}{3} -2\frac{t^2}{2} +c\\ \\ s &=& t^3 - t^2 +c\\ \\ \end{array} $ }}$$

$$\small{\text{ $ t = 1 $ and $ s= 0 $ so we find c : $ \begin{array}{rcl} 0 & = & 1^3 - 1^2 + c \\ 0 & = & 0 + c \\ 0 & = & c \end{Array} $ }}$\\$ \small{\text{ $ \boxed{s = t^3-t^2 } $ }}$$

°F = °C * 1.8 + 32

so 5°C * 1.8 + 32 = 41 °F

1/ √1+tan × tan und tan / √1+tan × tan bitte mit Lösungsweg wenn möglich.

$$\small{\text{ \boxed{ $\cos(x) = \dfrac{1}{ \sqrt{1+\tan^2{(x)}} } $ } und \boxed{ $\sin(x) = \dfrac{\tan{(x)}}{ \sqrt{1+\tan^2{(x)}} } $ } }}$\\\\$ \small{\text{ Herleitung $\cos(x)$: }}$\\$ \small{\text{ $\sin^2{(x)}+\cos^2{(x)}= 1 \quad | \quad : \cos^2{(x)}$ }}$\\$ \small{\text{ $ \frac {\sin^2{(x)}} {\cos^2{(x)}} + \frac {\cos^2{(x)}} {\cos^2{(x)}} = \frac {1} {\cos^2{(x)}} $ }}$\\$ \small{\text{ $ \tan^2{(x)}+1= \frac {1} {\cos^2{(x)}} $ }}$\\$ \small{\text{ $ \cos^2{(x)} = \frac {1} { 1+\tan^2{(x)} } \quad | \quad \sqrt$ }}$\\$ \small{\text{ $ \cos{(x)} = \dfrac {1} { \sqrt{1+\tan^2{(x)} }} $ }}$\\\\$ \small{\text{ Herleitung $\sin(x)$: }}$\\$ \small{\text{ $\sin^2{(x)}+\cos^2{(x)}= 1 \quad | \quad : \sin^2{(x)}$ }}$\\$ \small{\text{ $ \frac {\sin^2{(x)}} {\sin^2{(x)}} + \frac {\cos^2{(x)}} {\sin^2{(x)}} = \frac {1} {\sin^2{(x)}} $ }}$\\$ \small{\text{ $ 1+ \frac {1} { \tan^2{(x)} } = \frac {1} {\sin^2{(x)}} $ }}$\\$ \small{\text{ $ \frac {\tan^2{(x)} +1 } { \tan^2{(x) } } = \frac {1} {\sin^2{(x)}} $ }}$\\$ \small{\text{ $ \sin^2{(x)} = \frac {\tan^2{(x)} } { 1+\tan^2{(x)} } \quad | \quad \sqrt$ }}$\\$ \small{\text{ $ \sin{(x)} = \dfrac {\tan{(x)} } { \sqrt{1+\tan^2{(x)} }} $ }}$$

Eine Bakterienkultur hat 150 Bakterien. Jede fünf Stunden verdoppelt sich die Anzahl. Wie viele Bakterien sind nach 24 Stunden da (meine Lösung : 3840). Stelle hierzu eine Formel auf, mit der man, wenn man n als eine Stundenangabe verwendet, die Anzahl von den Bakterien (y) ausrechnen kann. Also eine Formel mit der man dieses Wachstum  beschreiben kann. 

$$\\ \small{\text{ Exponentielles Wachstum: $ y(x) = y_0* a^x $ . }}$\\\\$ \small{\text{ I. Berechnung von $y_0$ : }}$\\$ \small{\text{ Zum Zeitpunkt $x=0$ Stunden haben wir 150 Bakterien: $ 150 = y_0*a^0$ }}$\\$ \small{\text{ Da $a^0=1$ ist, folgt $ 150 = y_0$ }}$\\$ \small{\text{ Die Bakterienkultur startet mit 150 Bakterien: $y(x)=150*a^x$ }}$\\\\$ \small{\text{ II. Berechnung von $a$ : }}$\\$ \small{\text{ An zwei Zeitpunkten $x_1$ und $x_2$ haben wir $y(x_1) = 150*a^{x_1} $ und $y(x_2) = 150*a^{x_2}$ Bakterien. }}$\\$ \small{\text{ Wir teilen beide Formeln $\dfrac{y(x_2) }{ y(x_1) } = \dfrac{150*a^{x_2}}{150*a^{x_1}} = \dfrac{a^{x_2}}{a^{x_1}} = a^{x_2-x_1} $ }}$\\$ \small{\text{ und erhalten $\dfrac{y(x_2) }{ y(x_1) } = a^{x_2-x_1} $ . }}$\\$ \small{\text{ $x_2-x_1 = 5 $ Stunden und $\dfrac{y(x_2) }{ y(x_1) } = 2 $. Da nach 5 Stunden eine Verdoppelung stattfinden soll. }}$\\$ \small{\text{ Wir erhalten $a^5 = 2$ oder $a = \sqrt[5]{2} = 2^{ \frac{1}{5} }$. }}$\\$ \small{\text{ Unsere vollst$\ddot{a}$ndige Wachstumsformel lautet \boxed{ $y(x) = 150 * 2^{ \left( \dfrac{x}{5} \right) } $ }. }}$\\\\$ \small{\text{ III. Berechnung nach 24 Stunden: }}$\\$ \small{\text{ $y(24)=150*2^{\left(\dfrac{24}{5}\right) } = 150*2^{\left(4.8\right) } = 150*27.8576180255 = 4178.64270382 \approx 4178$ }}$$

Nach 24 Stunden sind 4178 Bakterien da.