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prove 
sec2x = (sec^2x*csc^2x)/ (csc^2x - sec^2x)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \frac{\sec^2(x)\cdot \csc^2(x)}{\csc^2(x) - \sec^2(x)} \\ &=& \frac{1}{ \frac{\csc^2(x) - \sec^2(x)}{\sec^2(x)\cdot \csc^2(x)} } \\ &=& \frac{1}{ \frac{\csc^2(x)}{\sec^2(x)\cdot \csc^2(x)} -\frac{\sec^2(x)}{\sec^2(x)\cdot \csc^2(x)} } \\ &=& \frac{1}{ \frac{1}{\sec^2(x)} -\frac{1}{ \csc^2(x)} } \quad & | \quad \frac{1}{\sec(x)}=\cos(x) \quad \frac{1}{ \csc(x)}=\sin(x) \\ &=& \frac{1}{ \cos^2(x) - \sin^2(x) } \quad & | \quad \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) \\ &=& \frac{1}{ \cos(2x) } \quad & | \quad \frac{1}{\cos(x)}=\sec(x)\\ &=& \sec(2x) \\ \hline \end{array} \)

how do i change the base of log?

Change of base

The logarithm \(log_b(x)\) can be computed from the logarithms of \(x\) and \(b\) with respect to an arbitrary base \(k\) using the following formula:
\(\qquad {\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}.\,}\) ,

Typical scientific calculators calculate the logarithms to bases 10 and \(e\).
Logarithms with respect to any base b can be determined using either of these two logarithms by the previous formula:
\(\qquad {\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{10}(x)}{\log _{10}(b)}}={\frac {\log _{e}(x)}{\log _{e}(b)}}.\,}\)

Given a number \(x\) and its logarithm \(log_b(x)\) to an unknown base \(b\), the base is given by:
\(\qquad {\displaystyle b=x^{\frac {1}{\log _{b}(x)}}.}\)

Do you mean

Mollweide's Formula ?
\((a+b)\sin\frac{C}{2}=c \cdot cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \)

Ein Glücksrad wird zweimal gedreht.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Zahl eine 0 oder eine 1 ist?

\(\begin{array}{|rcll|} \hline (0) \text{ und } (0) : & \frac{2}{12}\cdot \frac{2}{12} \\ (0) \text{ und } (1) : & \frac{2}{12}\cdot \frac{2}{12} \\ (0) \text{ und } (2) : & \frac{2}{12}\cdot \frac{8}{12} \\ (1) \text{ und } (0) : & \frac{2}{12}\cdot \frac{2}{12} \\ (1) \text{ und } (1) : & \frac{2}{12}\cdot \frac{2}{12} \\ (1) \text{ und } (2) : & \frac{2}{12}\cdot \frac{8}{12} \\\\ &\text{Summe }& \frac{2}{12}\cdot \frac{2}{12}+\frac{2}{12}\cdot \frac{2}{12}+\frac{2}{12}\cdot \frac{8}{12} +\frac{2}{12}\cdot \frac{2}{12}+\frac{2}{12}\cdot \frac{2}{12}+\frac{2}{12}\cdot \frac{8}{12}\\ &=& \frac{2}{12}\cdot (\frac{2}{12}+\frac{2}{12}+\frac{8}{12}) +\frac{2}{12}\cdot (\frac{2}{12}+\frac{2}{12}+\frac{8}{12}) \\ &=& \frac{2}{12}\cdot (\frac{12}{12}) +\frac{2}{12}\cdot (\frac{12}{12}) \\ &=&\frac{2}{12} + \frac{2}{12} \\ &=& \frac{4}{12} \quad (33,\bar{3}\ \%)\\ \hline \end{array} \)

Die Warscheinlichkeit beträgt 33,3 % auch wenn zweimal gedreht wird.

Whats the Square root of 48?

\(\sqrt{48} \\ = \sqrt{16\cdot3}\\ = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} \\ = 4 \cdot \sqrt{3} \\ = 4 \cdot 1.73205080757\\ =6.92820323028\)

Let m and n be the roots of the quadratic equation 4x^2 + 5x + 3 = 0.

Find (m + 7)(n + 7).

\(\begin{array}{|rcll|} \hline ax^2+bx+c &=& 0 \\ x &=& \frac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac} } {2a} \\\\ x_1 + x_2 &=& \frac{ -b + \sqrt{b^2-4ac} } {2a} + \frac{ -b - \sqrt{b^2-4ac} } {2a} \\ &=& \frac{ -b } {2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac} } {2a} + \frac{ -b } {2a} - \frac{ \sqrt{b^2-4ac} } {2a} \\ &=& \frac{ -2b } {2a} \\ \mathbf{x_1 + x_2} & \mathbf{=} & \mathbf{-\frac{ b } { a}} \qquad \text{ or } \qquad \mathbf{m + n} \mathbf{=} \mathbf{-\frac{ b } { a}} \\\\ x_1\cdot x_2 &=& \left( \frac{ -b + \sqrt{b^2-4ac} } {2a} \right) \cdot \left( \frac{ -b - \sqrt{b^2-4ac} } {2a} \right) \\ &=& \left( \frac{ -b } {2a} + \frac{ \sqrt{b^2-4ac} } {2a} \right) \cdot \left( \frac{ -b } {2a} - \frac{ \sqrt{b^2-4ac} } {2a} \right) \\ &=& \left( \frac{ -b } {2a} \right)^2 - \left( \frac{ \sqrt{b^2-4ac} } {2a} \right)^2 \\ &=& \frac{ b^2 } {4a^2} - \frac{ b^2-4ac } {4a^2} \\ &=& \frac{ b^2-(b^2-4ac) } {4a^2} \\ &=& \frac{ b^2-b^2+4ac } {4a^2} \\ &=& \frac{ 4ac } {4a^2} \\ \mathbf{x_1\cdot x_2} & \mathbf{=} & \mathbf{\frac{ c } { a}} \qquad \text{ or } \qquad \mathbf{m\cdot n} \mathbf{=} \mathbf{\frac{ c } { a}} \\ \hline \end{array}\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && (m + 7)(n + 7) \\ &=& m\cdot n + 7\cdot (m+n) + 7^2 \\ &=& m\cdot n + 7\cdot (m+n) + 49 \\\\ 4x^2 + 5x + 3 &=& 0 \qquad a = 4,\ b=5,\ c=3 \\ m + n &=& -\frac{ b } { a} \\ &=& -\frac{ 5 } { 4 } \\\\ m\cdot n &=& \frac{ c } { a} \\ &=& \frac{ 3 } { 4 } \\\\ (m + 7)(n + 7) &=& m\cdot n + 7\cdot (m+n) + 49 \\ &=& \frac{ 3 } { 4 } + 7\cdot (-\frac{ 5 } { 4 }) + 49 \\ &=& - \frac{ 32 } { 4 } + 49 \\ &=& -8 + 49 \\ &=& 41 \\ \hline \end{array}\)

(m + 7)(n + 7) = 41

Ein Glücksrad wird zweimal gedreht.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Zahl eine 0 oder eine 1 ist?

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 2 ist?

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Zahl eine 0 oder eine 1 ist?

\(\begin{array}{|rcll|} \hline (0) \text{ oder } (1): & \frac{2}{12} + \frac{2}{12} &=& \frac{4}{12} \quad (33,\bar{3}\ \%)\\ \hline \end{array} \)

Die Warscheinlichkeit beträgt 33,3 %

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 2 ist?

\(\begin{array}{|rcll|} \hline (0) \text{ und } (2) : & \frac{2}{12}\cdot \frac{8}{12} &=& \frac{16}{144} \\ (1) \text{ und } (1) : & \frac{2}{12}\cdot \frac{2}{12} &=& \frac{4}{144} \\ (2) \text{ und } (0) : & \frac{8}{12}\cdot \frac{2}{12} &=& \frac{16}{144} \\\\ & \frac{16}{144} + \frac{4}{144} + \frac{16}{144} &=& \frac{36}{144} = 0,25 \quad (25\ \%)\\ \hline \end{array} \)

Die Warscheinlichkeit beträgt 25 %

The radius of  a sphere is 1,516 miles.

What is it's volume?

\(\begin{array}{|rcll|} \hline V &=& \frac43 \cdot \pi \cdot r^3 \quad & | \quad r = 1516 \\ V &=& \frac43 \cdot \pi \cdot 1516^3 \\ V &=& \frac{13936624384}{3} \cdot \pi\\ V &=& 14594398926.8715925 \ \text{miles}^3 \\ V &=& 1.45943989268715925 \cdot 10^{10} \ \text{miles}^3 \\ \hline \end{array} \)

how to calculate x in steps?

\(\frac{\pi}{4}= \cos^-1 \left(\frac{2x^2}{1+x^4} \right)\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \frac{\pi}{4} &=& \cos^-1 \left(\frac{2x^2}{1+x^4} \right) \quad & | \quad \cos() \\ \cos( \frac{\pi}{4} ) &=& \cos(\cos^-1 \left(\frac{2x^2}{1+x^4} \right)) \\ \cos( \frac{\pi}{4} ) &=& \frac{2x^2}{1+x^4} \quad & | \quad \cos( \frac{\pi}{4} ) = \frac{1} {\sqrt{2}} \\ \frac{1} {\sqrt{2}} &=& \frac{2x^2}{1+x^4} \quad & | \quad \cdot (1+x^4) \\ \frac{1} {\sqrt{2}}\cdot (1+x^4) &=& 2x^2 \quad & | \quad \cdot \sqrt{2} \\ 1+x^4 &=& 2\cdot\sqrt{2}\cdot x^2 \quad & | \quad -2\cdot\sqrt{2}\cdot x^2 \\ x^4 -2\cdot\sqrt{2}\cdot x^2 + 1 &=& 0 \\\\ z^2 -2\cdot\sqrt{2}\cdot z + 1 &=& 0 \quad & | \quad z = x^2 \\ z &=& \frac{2\cdot\sqrt{2} \pm \sqrt{(-2\cdot\sqrt{2})^2-4\cdot 1 } } { 2 } \\ z &=& \frac{2\cdot\sqrt{2} \pm \sqrt{8-4 } } { 2 } \\ z &=& \frac{2\cdot\sqrt{2} \pm \sqrt{4 } } { 2 } \\ z &=& \frac{2\cdot\sqrt{2} \pm 2 } { 2 } \\ z &=& \sqrt{2} \pm 1 \quad & | \quad x = \pm\sqrt{z} \\ x &=& \pm\sqrt{ \sqrt{2} \pm 1} \\\\ x_1 &=& + \sqrt{ \sqrt{2} + 1} = 1.55377397403 \\ x_2 &=& + \sqrt{ \sqrt{2} - 1} = 0.64359425291 \\ x_3 &=& - \sqrt{ \sqrt{2} + 1} = -1.55377397403 \\ x_4 &=& - \sqrt{ \sqrt{2} - 1} = -0.64359425291\\ \hline \end{array}\)

Ich habe 40 Platten.
Eine hat das Maß von 40 cm x 40 cm.
Wieviel qm sind das?

Eine Platte umrechnen von cm² nach m²:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && 40\ cm \cdot 40\ cm \cdot \frac{1\ m}{100\ cm }\cdot \frac{1\ m}{100\ cm } \\ &=& 40^2\ cm^2 \cdot \frac{1\ m^2}{100^2\ cm^2 } \\ &=& \frac{40^2}{100^2}\ m^2 \\ &=& \frac{1600}{10000}\ m^2 \\ &=& \frac{16 }{100}\ m^2 \\ &=& 0,16\ m^2 \\ \hline \end{array}\)

Eine Platte sind 0,16 m².

40 Platten:

\(\begin{array}{lcll} 40 \cdot 0,16 m^2 = 6,4 m^2 \\ \end{array} \)

40 Platten sind 6,4 m².