Proportionale Vergrößerung einer Fläche (Rechteck) & Bestimmung der Seitenlängen

Sie haben die Gleichungen:

6=a'b'

a'=1/3b'

Für a' einsetzen: 6=1/3b² 

18=b'²

b'=4.24

a'=6/4.24=1.41

Danke

Wen 1 Apfel da ist und wenn noch einer dazu kommt sind es 2äpfel

🤓😉

ich habe ein Rechteck mit den Seitenlängen a = 1 und b = 3.

Das ergibt einen Flächeninhalt von 3.

Ich möchte nun den Flächeninhalt um den Faktor x = 2 vergrößern und die neuen Seitenlängen bestimmen.

Seitenlängen Rechteck: $a=1, \ b=3.$  Fläche $A = a * b$

Neues Rechteck:  a' = ?, b' = ?  Fläche $= a' * b'$

x = Vergößerungsfaktor.

1. Formel - Vergleich der Flächen:

$\begin{array}{|lrcll|} \hline & A &=& a*b\\ & x*A = x*a*b &=& a'*b' \\ & x*a*b &=& a'*b' \\ (1) & \mathbf{x*\dfrac{a}{a'}} & \mathbf{=} & \mathbf{\dfrac{b'}{b}} \\ \hline \end{array}$

2. Formel Strahlensatz:

$\begin{array}{|lrcll|} \hline & \dfrac{ \frac{a}{2} } { \frac{b}{2} } &=& \dfrac{ \frac{a'}{2} } { \frac{b'}{2} } \\ & \dfrac{a}{b} & = & \dfrac{a'}{b'} \\ (2) & \mathbf{\dfrac{a}{a'} } & \mathbf{=} & \mathbf{ \dfrac{b}{b'} } \\ \hline \end{array}$

Formel 2 in Formel 1 einsetzen und b' berechnen:

$\begin{array}{|lrcll|} \hline & x*\dfrac{a}{a'} & = & \dfrac{b'}{b} \quad & | \quad \dfrac{a}{a'} = \dfrac{b}{b'} \\ & x*\dfrac{b}{b'} & = & \dfrac{b'}{b} \\ & x*b^2 & = & b'^2\\ (3) & \mathbf{b'} &\mathbf{=}& \mathbf{b *\sqrt{x}} \\ (4) & \dfrac{b'}{b} & =& \sqrt{x} \\ \hline \end{array}$

Formel 4 in Formel 1 einsetzen und a' berechnen:

$\begin{array}{|lrcll|} \hline & x*\dfrac{a}{a'} & = & \dfrac{b'}{b} \quad & | \quad \dfrac{b'}{b} & =& \sqrt{x} \\ & x*\dfrac{a}{a'} & = & \sqrt{x} \\ & a' &=& \dfrac{x*a}{\sqrt{x}} \cdot \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \\ & a' &=& \dfrac{x*a*\sqrt{x}}{x} \\ (5) & \mathbf{a'} &\mathbf{=}& \mathbf{a *\sqrt{x}} \\ \hline \end{array}$

Wir rechnen nun a' und b' aus:

$\begin{array}{|rcll|} \hline a' &=& a *\sqrt{x} \quad & | \quad a = 1 \quad x = 2 \\ a' &=& 1 *\sqrt{2} \\ \mathbf{a'} &\mathbf{=}& \mathbf{1.41421356237} \\\\ b' &=& b *\sqrt{x} \quad & | \quad b = 3 \quad x = 2 \\ b' &=& 3 *\sqrt{2} \\ \mathbf{b'} &\mathbf{=}& \mathbf{4.24264068712} \\ \hline \end{array}$