Hugo rennt beim Marathon mit dem Startschuss los und läuft konstant 5:30 Min./km. Daniela überquert die Startlinie erst nach 4:34 Minuten. Nach dem ersten

Bekannt ist:

Hugo läuft mit $1000m\over 330 sec$

Hugo hat 274 Sekunden Vorsprung, was $274 sec*{1000m\over 330sec} = 274*{100m\over 33}$, also ungefähr 830,3 Metern entspricht.

Hugo hat weiteren Vorsprung, den er dadurch erhält, dass Daniela 1000 Meter lang mit einer langsameren Geschwindigkeit von $1000m\over 383 sec$ läuft.

Das entspricht einem weiteren Vorsprung von $383sec*{1000m\over 330sec}-383sec*{1000m\over 383sec}=383*{100m\over 33}-1000m$, also ungefähr weitere 160,6 Meter.

Der Gesamtvorsprung von Hugo beträgt also zu dem Zeitpunkt, als Daniela bereits 1.000 Meter gelaufen ist, $32.700\over 33$Meter, was ungefähr 990, 91 Metern entspricht.

Daniela läuft ab diesem Moment mit $1000m\over 320 sec$, also schneller als Hugo.

Wie lange braucht Daniela jetzt, um Hugo einzuholen ? Während sie Hugo hinterher läuft, läuft Hugo ja weiter. Also muss die Differenzgeschwindigkeit berechnet werden.

Also der Anteil der Geschwindigkeit, den Daniela schneller läuft als Hugo.

${1000m\over 320sec} - {1000m\over 330sec}={25m\over 8sec}-{100m\over 33sec}={825m\over 264sec}-{800m\over 264sec}={25m\over 264sec}$

Jetzt muss also berechnet werden, wie schnell Daniela mit der Differenzgeschwindigkeit die Distanz zu Hugo überwinden kann:

${32.700m\over 33}*{264sec\over 25}={1.308\over 33}*{264sec}={339.312sec\over 33}$, das sind ganz genau 10.464 Sekunden, also knappe 3 Stunden.

Wie weit ist Daniela in dieser Zeit gelaufen ?

${1000m\over 320sec}*{10.464sec}={25m\over 8}*10.464=32.700m$

Jetzt muss man sich erinnern, dass Daniela ja schon 1.000 Meter gelaufen war, als sie die Aufholjagd begann. Somit holt sie Hugo nach exakt 33.700 Metern ein. Da ein Marathon etwa 42 Kilometer lang ist, kann man sagen:

Ja, Daniela wird Hugo einholen, und zwar nach 33.700 Metern

Hugo rennt beim Marathon mit dem Startschuss los und läuft konstant 5:30 Min./km.
Daniela überquert die Startlinie erst nach 4:34 Minuten.
Nach dem ersten Kilometer in 6:23 Minuten läuft sie gleichmäßig 5:20 Min./km.
Wird sie Hugo überholen? Wenn ja, wo?

$\begin{array}{|rcll|} \hline v_{\text{Hugo}} &=& \frac{1}{5+\frac{30}{60}} \frac{km}{Min.} \\ &=& \frac{1}{5.5} \frac{km}{Min.} \\ &=& 0,\overline{18} \frac{km}{Min.} \\\\ v_{\text{Daniela}} &=& \frac{1}{5+\frac{20}{60}} \frac{km}{Min.} \\ &=& \frac{1}{5.\bar{3}} \frac{km}{Min.} \\ &=& 0,1875 \frac{km}{Min.} \\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{|rcll|} \hline s_{\text{Hugo}}(t) &=& v_{\text{Hugo}}\cdot t \\ &=& \left(\frac{1}{5.5}\right)\cdot t \\ &=& 0,\overline{18 }\cdot t \\\\ s_{\text{Daniela}}(t) &=& v_{\text{Daniela}}\cdot[t-(6+\frac{23}{60})] + \left[ -v_{\text{Hugo}}\cdot \left(4+\frac{34}{60}\right) +1\ km \right] \\ \hline \end{array}$

Hugo und Daniela sind auf gleicher Höhe wenn: $s_{\text{Hugo}}(t)=s_{\text{Daniela}}(t)$

$\begin{array}{|rcll|} \hline s_{\text{Hugo}}(t)&=& v_{\text{Daniela}}\cdot[t-(6+\frac{23}{60})] + \left[ -v_{\text{Hugo}}\cdot \left(4+\frac{34}{60}\right) +1\ km \right] \\ \cdots \\ t_{\text{auf gleicher Höhe}} &=& \frac{v_{ \text{Daniela}}\cdot(6+\frac{23}{60})+v_{\text{Hugo}}\cdot (4+\frac{34}{60}) - 1 } {v_{\text{Daniela}}-v_{\text{Hugo}}} \\ &=& \frac{ 0, 1875\cdot 6,38\bar{3}+ 0, \overline{18}\cdot 4,5\bar{6} - 1 } { 0, 1875 - 0, \overline{18} } \\ &=& 180,78\bar{3} \ Min. \\ &=& 180:47 \ Min. \\\\ s_{\text{auf gleicher Höhe}} &=& v_{\text{Hugo}}\cdot t_{\text{auf gleicher Höhe}} \\ &=& 0,\overline{18}\cdot 180,78\bar{3} \\ &=& 32,8\overline{69}\ km \\ \hline \end{array}$

Daniela wird Hugo nach $32,8\overline{69}$ km überholen.