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Ich suche den Lösungsweg von arctan(1/1+x²).

Mein Ansatz war erstmal Arctan abzuleiten auf 1/1+x² und dann den Ausdruck in der Klammer mit einzusetzen so das

1/1+(1/1+x²)² raus kommt. Nur weiss ich jetzt nicht weiter, die Lösung habe ich hier doch der Rechenweg wird mir nicht begreiflich.

 

Und falls jemand eine Seite klärt wo das Thema Ableitungen ausführlich erklärt wird bitte her damit. Finde meist nur Aufgaben wie f(x) = x² f'(x) = 2x , etwas mehr auf sin , cos , e funktionen und all das wäre wirklich klasse.

 

LG

 13.03.2016
bearbeitet von Gast  13.03.2016
 #1
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Hallo und guten Tag !

 

Sieh dir doch mal diesen Ableitungsrechner an :

 

http://www.ableitungsrechner.net/#

 

Ich würde mich über eine kurze Antwort freuen !

 

 Gruß radix smiley !

 13.03.2016
 #2
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Ich suche den Lösungsweg von arctan(1/1+x²).

Mein Ansatz war erstmal Arctan abzuleiten auf 1/1+x² und dann den Ausdruck in der Klammer mit einzusetzen so das 1/1+(1/1+x²)² raus kommt. Nur weiss ich jetzt nicht weiter, die Lösung habe ich hier doch der Rechenweg wird mir nicht begreiflich.

 

Dein Ansatz ist richtig!


Gesucht ist vermutlich die Ableitung von \(\arctan \left(\frac{1}{1+x^2} \right)\)
Wir substituieren \(z =  \frac{1}{1+x^2} \) und erhalten  \(y = \arctan(z)\)
Nun berechnen wir die 1. Ableitung mit der Kettenregel. 
Äußere Ableitung mal der inneren Ableitung \(y' = [\arctan(z)]' \cdot z'\)

 


\(\begin{array}{rcll} [\arctan(z)]' &=& \frac{1}{1+z^2} \\ &=& \frac{1}{1+ \left( \frac{1}{1+x^2} \right) ^2} \\ &=& \frac{1}{1+ \frac{1}{\left( 1+x^2\right) ^2} } \\ &=& \frac{1}{ \frac{\left( 1+x^2\right) ^2+1}{\left( 1+x^2\right) ^2} } \\ &=& \frac{ \left( 1+x^2\right) ^2} { \left( 1+x^2\right) ^2+1} \end{array}\)

 

 

\(\begin{array}{rcll} z' &=& \left[ \frac{1}{1+x^2} \right]' \\ &=& \left[ (1+x^2)^{-1} \right]' \\ &=& (-1)\cdot \left[ (1+x^2)^{-2} \right] \cdot 2x\\ &=& -\frac{ 2x }{ (1+x^2)^2 } \\ \end{array}\)

 

 

\(\begin{array}{rcll} y' &=& [\arctan(z)]' \cdot z' \\ y' &=& \frac{ \left( 1+x^2\right) ^2} { \left( 1+x^2\right) ^2+1} \cdot [ -\frac{ 2x }{ (1+x^2)^2 } ] \\ y' &=& -\frac{ 2x} { \left( 1+x^2\right) ^2+1} \\ \mathbf{y'} & \mathbf{=} & \mathbf{-\frac{ 2x} { x^4+2x^2+2} } \\ \end{array}\)

 

laugh

heureka  14.03.2016

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