heureka

cot^-1(-sqrt(11))

\(\begin{array}{rcll} x &=& \cot^{-1}{(-\sqrt{11})} \qquad | \qquad \cot{()}\\ \cot{(x)} &=& -\sqrt{11} \qquad | \qquad \cot{(x)} = \frac{1}{\tan{(x)}} \\ \frac{1}{\tan{(x)}} &=& -\sqrt{11} \\ \tan{(x)} &=& \frac{1}{ -\sqrt{11} } \qquad | \qquad \arctan{()}\\ x &=& \arctan{(\frac{1}{ -\sqrt{11} })} \\ \cot^{-1}{(-\sqrt{11})} &=& \arctan{(\frac{1}{ -\sqrt{11} })} \\ &=& \arctan{(\frac{1}{ -3.31662479036 })} \\ &=& \arctan{(-0.30151134458 )} \\ &=& -16.7786548810^{\circ} \end{array}\)

in Käsewürfel sei in 27 gleich große Teilwürfel unterteilt (3 Ebenen mit jeweils 3 Zeilen und 3 Spalten). Eine Maus beginnt in einer Ecke und frisst nacheinander die kleinen Teilwürfel auf, wobei sie sich nur von einem Würfel direkt zu einem Nachbarwürfel fortbewegen kann (als Nachbarwürfel verstehen wir 2 Würfel mit einer gemeinsamen Fläche).
Die Frage ist nun: Kann die Maus ihre Tour so gestalten, dass sie den mittleren Würfel zuletzt fressen kann?

Ein offener Eulerzug (Eulerpfad oder auch Eulerweg) ist dann gegeben, wenn eine Kantenfolge verlangt, welche jede Kante des Graphen genau einmal enthält.

Verallgemeinerung: Eulerweg

Ein (ungerichteter zusammenhängender) Graph enthält genau dann einen Eulerweg, wenn zwei oder keiner seiner Knoten von ungeradem Grad sind.

In der unteren Ebene haben die Würfel die Knotenzahlen ( 3,4,3, 4,5,4, 3,4,3 )

In der mittleren Ebene haben die Würfel die Knotenzahlen ( 4,5,4, 5,6,5, 4,5,4 )

In der oberen Ebene haben die Würfel die Knotenzahlen ( 3,4,3, 4,5,4, 3,4,3 )

Der Teilwürfel in der Mitte des Käsewürfels hat die Knotenzahl 6, da durch ihm in alle Richtungen 6 Wege verlaufen.

Es dürfen aber nur 2 ungerade Knotenzahlen sein. Wir haben hier 14 ungerade Knotenzahlen und 13 gerade Knotenzahlen, so gibt es hier für die Maus keinen Weg alle Teilwürfel, wie auch immer der Weg sein mag, zu essen.

Es gibt keinen Eulerweg.

x^(log(y)-log(z))*y^(log(z)-log(x))*z^(log(x)-log(y))=1

\(\small{ \begin{array}{rcll} x^{ \log{(y)}-\log{(z)} } \cdot y^{ \log{(z)}-\log{(x)} } \cdot z^{ \log{(x)}-\log{(y)}} &\overset{?}{=} & 1 \quad | \quad \log{()} \\\\ \log{( x^{ \log{(y)}-\log{(z)} } \cdot y^{ \log{(z)}-\log{(x)} } \cdot z^{ \log{(x)}-\log{(y)}} )} &\overset{?}{=} & \log{(1)} \quad | \quad \log{(1)} = 0 \\\\ \log{( x^{ \log{(y)}-\log{(z)} } )} + \log{( y^{ \log{(z)}-\log{(x)} } )} + \log{( z^{ \log{(x)}-\log{(y)}} )} &\overset{?}{=} & 0 \\\\ \end{array} } \)

\(\small{ \begin{array}{rcll} [~ \log{(y)}-\log{(z)} ~] \cdot \log{(x)} \\ +[~ \log{(z)}-\log{(x)} ~] \cdot \log{(y)} \\ +[~ \log{(x)}-\log{(y)} ~] \cdot \log{(z)} &\overset{?}{=} & 0 \end{array} } \)

\(\small{ \begin{array}{rcll} \log{(y)} \cdot \log{(x)} - \log{(z)}\cdot \log{(x)} \\ + \log{(z)} \cdot \log{(y)} - \log{(x)} \cdot \log{(y)} \\ + \log{(x)} \cdot \log{(z)} - \log{(y)} \cdot \log{(z)} &\overset{?}{=} & 0 \end{array} }\)

\(\small{ \begin{array}{rcll} \log{(y)} \cdot \log{(x)}- \log{(x)} \cdot \log{(y)}\\ - \log{(z)}\cdot \log{(x)} + \log{(x)} \cdot \log{(z)}\\ + \log{(z)} \cdot \log{(y)} - \log{(y)} \cdot \log{(z)} &\overset{?}{=} & 0 \\\\ 0+0+0 &\overset{?}{=} & 0 \\\\ \mathbf{0} & \mathbf{=} & \mathbf{0} \end{array} }\)

log(2)+16log(16÷15)+12log(25÷24)+7log(81÷80)=1 [prove that math]

\(\begin{array}{rcll} \log{(2)}+16\cdot \log{ ( \frac{16}{15} ) } + 12 \cdot \log{ ( \frac{25}{24} ) } +7 \cdot \log{ (\frac{81}{80} ) } &\overset{?}{=} & 1 \\\\ \log{(2)}+16\cdot \log{ ( \frac{2^4}{3\cdot 5} ) } + 12 \cdot \log{ ( \frac{5^2}{2^3\cdot 3} ) } +7 \cdot \log{ (\frac{3^4}{2^4\cdot 5} ) } &\overset{?}{=} & 1 \\ \end{array} \)

\(\small{ \begin{array}{rcll} \log{(2)} +16\cdot \log{ ( 2^4 ) } - 16\cdot \log{ ( 3 ) }- 16\cdot \log{ ( 5 ) } \\ +12\cdot \log{ ( 5^2 ) } - 12\cdot \log{ ( 2^3 ) }- 12\cdot \log{ ( 3 ) } \\ +7\cdot \log{ ( 3^4 ) } - 7\cdot \log{ ( 2^4 ) }- 7\cdot \log{ ( 5 ) } &\overset{?}{=} & 1 \\ \end{array} } \)

\(\small{ \begin{array}{rcll} \log{(2)} +16\cdot 4\cdot \log{ ( 2 ) } - 16\cdot \log{ ( 3 ) }- 16\cdot \log{ ( 5 ) } \\ +12\cdot 2\cdot \log{ ( 5 ) } - 12\cdot 3 \cdot \log{ ( 2 ) }- 12\cdot \log{ ( 3 ) } \\ +7\cdot 4\cdot \log{ ( 3 ) } - 7\cdot 4 \cdot \log{ ( 2) }- 7\cdot \log{ ( 5 ) } &\overset{?}{=} & 1 \\ \end{array} } \)

\(\small{ \begin{array}{rcll} \log{(2)} +64\cdot \log{ ( 2 ) } - 16\cdot \log{ ( 3 ) }- 16\cdot \log{ ( 5 ) } \\ +24\cdot \log{ ( 5 ) } - 36 \cdot \log{ ( 2 ) }- 12\cdot \log{ ( 3 ) } \\ +28\cdot \log{ ( 3 ) } - 28 \cdot \log{ ( 2) }- 7\cdot \log{ ( 5 ) } &\overset{?}{=} & 1 \\ \end{array} } \)

\(\small{ \begin{array}{rcll} \log{(2)} +64\cdot \log{ ( 2 ) }- 36 \cdot \log{ ( 2 ) }- 28 \cdot \log{ ( 2) }\\ - 16\cdot \log{ ( 3 ) } - 12\cdot \log{ ( 3 ) } +28\cdot \log{ ( 3 ) }\\ - 16\cdot \log{ ( 5 ) } +24\cdot \log{ ( 5 ) } - 7\cdot \log{ ( 5 ) } &\overset{?}{=} & 1 \\\\ \log{(2)} + 0 \log{ ( 3 ) } + 1\cdot \log{ ( 5 ) } &\overset{?}{=} & 1 \\ \log{(2)} + \log{ ( 5 ) } &\overset{?}{=} & 1 \\ \log{(2\cdot 5 )} &\overset{?}{=} & 1 \\ \log{( 10 )} &\overset{?}{=} & 1 \\ \log{( 10^1 )} &\overset{?}{=} & 1 \\\\ \mathbf{ 1 } & \mathbf{ = } & \mathbf{1} \\ \end{array} } \)

log(36÷25)^3+3log(2÷9)-log(2)=2log(16÷125) [prove that math]

\(\small{ \begin{array}{rcll} \log{[(\frac{36}{25} )^3]}+3\cdot \log{(\frac{2}{9} )}-\log{(2)} & \overset{?}{=}& 2\cdot \log{(\frac{16}{125} )} \\ \log{[(\frac{36^3}{25^3} )]} + \log{[(\frac{2}{9} )^3 ] }-\log{(2)} & \overset{?}{=}& 2\cdot \log{(\frac{16}{125} )} \\ \log{[(\frac{36^3}{25^3} )]} + \log{[(\frac{2^3}{9^3} ) ] }-\log{(2)} & \overset{?}{=}& 2\cdot \log{(\frac{16}{125} )} \\ \log{(\frac{36^3}{25^3}\cdot \frac{2^3}{9^3} \cdot \frac12 )} & \overset{?}{=}& 2\cdot \log{(\frac{16}{125} )} \\ \log{(\frac{36^3}{25^3}\cdot \frac{2^2}{9^3})} & \overset{?}{=}& 2\cdot \log{(\frac{16}{125} )} \\ \log{(\frac{ (4\cdot 9)^3}{25^3}\cdot \frac{2^2}{9^3})} & \overset{?}{=}& 2\cdot \log{(\frac{16}{125} )} \\ \log{(\frac{ 4^3\cdot 9^3}{25^3}\cdot \frac{2^2}{9^3})} & \overset{?}{=}& 2\cdot \log{(\frac{16}{125} )} \\ \log{(\frac{ 4^3 }{25^3}\cdot \frac{2^2}{1})} & \overset{?}{=}& 2\cdot \log{(\frac{16}{125} )} \\ \log{(\frac{ 4^3 }{(5^2)^3}\cdot \frac{2^2}{1})} & \overset{?}{=}& 2\cdot \log{(\frac{16}{125} )} \\ \log{(\frac{ 4^3 }{(5^2)^3}\cdot 4 )} & \overset{?}{=}& 2\cdot \log{(\frac{16}{125} )} \\ \log{(\frac{ 4^3 }{(5^3)^2}\cdot 4 )} & \overset{?}{=}& 2\cdot \log{(\frac{16}{125} )} \\ \log{(\frac{ 4^3 }{(5^3)^2}\cdot 4 )} & \overset{?}{=}& 2\cdot \log{(\frac{16}{125} )} \\ \log{(\frac{ 4^3 }{125^2}\cdot 4 )} & \overset{?}{=}& 2\cdot \log{(\frac{16}{125} )} \\ \log{(\frac{ 4^4 }{125^2} )} & \overset{?}{=}& 2\cdot \log{(\frac{16}{125} )} \\ \log{(\frac{ (4^2)^2 }{125^2} )} & \overset{?}{=}& 2\cdot \log{(\frac{16}{125} )} \\ \log{(\frac{ 16^2 }{125^2} )} & \overset{?}{=}& 2\cdot \log{(\frac{16}{125} )} \\ \log{ [ ( \frac{ 16 }{125} )^2 ]} & \overset{?}{=}& 2\cdot \log{(\frac{16}{125} )} \\\\ \mathbf{2\cdot \log{ ( \frac{ 16 }{125} )} } & \mathbf{=} & \mathbf{ 2\cdot \log{(\frac{16}{125} )} } \end{array} }\)

Ein Auto fährt mit 80km/h auf einer Autobahn. Nach einer Dreiviertelstunde fährt ein 2 Auto ihm nach mit einer Geschwindigkeit von 100 km/h. Wie kann man das rechnerisch lösen wann die beiden Autos sich treffen? Meine aber nach wie vielen kilometer sie sich treffen, bitte helft mir.

Wir haben zwei Geraden und suchen zum Schnittpunkt zum Zeitpunkt t den dazugehörigen y-Wert.
 

1. Gerade zum 1.Auto: 

\(y = 80 \frac{km}{h} \cdot t\)

2. Gerade zum 2. Auto: Zum Startzeitpunkt des 2. Autos ist \(\small{t=\frac34h}\), der Weg y muss noch Null sein daher:

 \(y= 100 \frac{km}{h}\cdot ( t -\frac34 h )\)

3. Schnittpunkt:

\(\small{ \begin{array}{rcll} y = 100 \frac{km}{h}\cdot ( t -\frac34 h )&=& 80 \frac{km}{h} \cdot t \\ 100 \frac{km}{h}\cdot ( t -\frac34 h )&=& 80 \frac{km}{h} \cdot t \\ 100 \frac{km}{h}\cdot t - 100 \frac{km}{h}\cdot\frac34 h&=& 80 \frac{km}{h} \cdot t \\ 100 \frac{km}{h}\cdot t - 75\ km &=& 80 \frac{km}{h} \cdot t \quad & | \quad +75\ km\\ 100 \frac{km}{h}\cdot t - 75\ km +75\ km&=& 80 \frac{km}{h} \cdot t +75\ km\\ 100 \frac{km}{h}\cdot t &=& 80 \frac{km}{h} \cdot t +75\ km \quad & | \quad -80 \frac{km}{h}\cdot t\\ 100 \frac{km}{h}\cdot t -80 \frac{km}{h}\cdot t &=& 80 \frac{km}{h} \cdot t -80 \frac{km}{h}\cdot t +75\ km \\ 100 \frac{km}{h}\cdot t -80 \frac{km}{h}\cdot t &=& 75\ km \\ 20 \frac{km}{h}\cdot t &=& 75\ km \quad & | \quad :20 \frac{km}{h}\\ t &=& \frac{75\ km }{ 20 \frac{km}{h}} \\ t &=& \frac{75}{ 20 } \frac{km}{\frac{km}{h}}\\ t &=& \frac{75}{ 20 } \frac{km\cdot h}{km}\\ t &=& \frac{75}{ 20 } \ h\\ t &=& 3,75\ h \end{array} }\)

Die beiden Autos treffen sich nach 3,75 Stunden.

4. Der Weg ?

\(\small{ \begin{array}{rcll} y &=& 80 \frac{km}{h} \cdot t \qquad | \qquad t = 3,75\ h \\ y &=& 80 \frac{km}{h} \cdot 3,75\ h \\ y &=& 80 \cdot 3,75 \frac{km \cdot h}{h} \\ y &=& 80 \cdot 3,75 \ km \\ y &=& 300\ km \\ \end{array} }\)

Die beiden Autos treffen sich nach 300 km.

(2M)/(2M+3)-(2M)/(2M-3)=1 How many extraneous solutions does the equation have.

\(\small{ \begin{array}{rcll} \frac{2M}{2M+3}-\frac{2M}{2M-3} &=& 1 \quad & | \quad :2M \\ \frac{1}{2M+3}-\frac{1}{2M-3} &=& \frac{1}{2M} \quad & | \quad \cdot (2M+3) \cdot (2M-3) \\ \frac{(2M+3) \cdot (2M-3) }{2M+3}-\frac{(2M+3) \cdot (2M-3) }{2M-3} &=& \frac{(2M+3) \cdot (2M-3) }{2M} \\ (2M-3) - (2M+3) &=& \frac{(2M+3) \cdot (2M-3) }{2M} \\ 2M-3 - 2M-3 &=& \frac{(2M+3) \cdot (2M-3) }{2M} \\ -6 &=& \frac{(2M+3) \cdot (2M-3) }{2M} \quad & | \quad (2M+3) \cdot (2M-3) = (2M)^2-3^2 = 4M^2-9 \\ -6 &=& \frac{4M^2-9}{2M} \quad & | \quad \cdot 2M \\ -6\cdot 2M &=& 4M^2-9\\ 4M^2-9 &=& -6\cdot 2M\\ 4M^2-9 &=& -12M\quad & | \quad +12M \\ 4M^2+12M-9 &=& 0\\ \end{array} }\)

\(\boxed{~ \begin{array}{rcll} a\cdot M^2+b\cdot M+c &=& 0 \\ M &=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \end{array} ~}\)

\(\small{ \begin{array}{rcll} 4M^2+12M-9 &=& 0 \quad | \quad a=4 \quad b = 12 \quad c = -9 \\ M &=& \dfrac{-12 \pm \sqrt{12^2-4\cdot 4 \cdot (-9) } }{2\cdot 4} \\ M &=& \dfrac{-12 \pm \sqrt{144+144 } }{2\cdot 4} \\ M &=& \dfrac{-12 \pm \sqrt{ 2\cdot 144 } }{2\cdot 4} \\ M &=& \dfrac{-12 \pm \sqrt{ 2\cdot 12^2 } }{2\cdot 4} \\ M &=& \dfrac{-12 \pm 12\cdot\sqrt{ 2} }{2\cdot 4} \\ M &=& \dfrac{-3 \pm 3\cdot\sqrt{ 2} }{2 } \\\\ M_1 &=& \dfrac{-3 + 3\cdot\sqrt{ 2} }{2 } \\ \mathbf{M_1} & \mathbf{=} & \mathbf{0.62132034356} \\\\ M_2 &=& \dfrac{-3 - 3\cdot\sqrt{ 2} }{2 } \\ \mathbf{M_2} &\mathbf{=} & \mathbf{-3.62132034356 } \end{array} }\)

I really struggle with fraction multiplying little help?

−10.5 = −4.9 − r

\(\begin{array}{rcll} -10.5 &=& -4.9 - r \\ -4.9 - r &=& -10.5 \qquad & | \qquad \cdot (-1) \\ 4.9 + r &=& 10.5 \qquad & | \qquad -4.9 \\ 4.9 -4.9 + r &=& 10.5 -4.9 \\ \mathbf{r} & \mathbf{=} & \mathbf{5.6} \\ \end{array}\)

normal distribution with mean 74 and std. dev. 4

\(\text{Normalcdf}(80.75,\infty,74,4) = 0,045753624961741\)