heureka

eva,ida und pia gehen eislaufen.eva geht alle 10 tage,ida alle 12 tage un pia alle 16 tage.wenn sie einmal gemeinsam gehen,nach wie vielen tagen treffen sie einander wieder?(kleinste gemeinsame vielfache)

Die Vielfachen von 10 sind:

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190, 200, 210, 220, 230, 240 ...

Die Vielfachen von 12 sind:

12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168, 180, 192, 204, 216,  228, 240,  …

Die Vielfachen von 16 sind:

16, 32, 48, 64, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 224, 240,  …

Die gemeinsamen Vielfachen von 10 und 12 und 16 sind also 240, ...

und das kleinste von diesen ist 240

Sie treffen sich nach 240 Tagen wieder.   

    oder

      240 = 10 * 24  eva trifft die anderen nach jedem 24. Eislaufen

      240 = 12 * 20  ida trifft die anderen nach jedem 20. Eislaufen

      240 = 16 * 15 pia trifft die anderen nach jedem 15. Eislaufen

wie ist der koeffzient von x² wenn man (x+2)^6 auflöst ?

\(\small{ \begin{array}{rcl} (x+2)^6 = \binom60 x^6 \cdot 2^0 + \binom61 x^5 \cdot 2^1 + \binom62 x^4 \cdot 2^2 + \binom63 x^3 \cdot 2^3 + \color{red}{\mathbf{ \binom64 x^2 \cdot 2^4}}\color{black} + \binom65 x^1 \cdot 2^5 + \binom66 x^0 \cdot 2^6 \end{array} }\)

\(\begin{array}{rcl} \text{Der Koeffizient von } x^2 \text{ ist } 2^4 \cdot \binom64 \\ \qquad \binom64 = \binom62 = \dfrac{6}{2}\cdot\dfrac{5}{1} = 15\\ 2^4 \cdot \binom64 &= & 16 \cdot 15 = 240 \end{array}\\ \)

Der Koeffizient von \(x^2\) ist 240

How do you solve this equation? 

\(\dfrac{1}{e^x - e^{-x}}= 2 \)

\(\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{e^x - e^{-x}} &=& 2 \\ e^x - e^{-x} &=& \dfrac{1}{2} \qquad | \qquad \dfrac{e^x - e^{-x}}{2} = \sinh{(x)}\\ 2\sinh{(x)} &=& \dfrac{1}{2} \\ \sinh{(x)} &=& \dfrac{1}{4}\\ x &=& \text{arsinh}{ \left(\dfrac{1}{4} \right)} = \text{sinh}^{-1}{ \left(\dfrac{1}{4} \right)}\\ \mathbf{x} & \mathbf{=} & \mathbf{ 0.2474664615472692 } \end{array}\)

The sum of three consecutive odd integers is 207. What are the integers?

An odd number is 2n + 1

This odd number - 2 is also a odd number is 2n+1-2 = 2n-1

This odd number +2 is also a odd number is 2n+1+2 = 2n+3

Sum:

\( \begin{array}{rcl} (2n-1 ) + ( 2n+1) + ( 2n+3) &=& 207 \\ 6n+3 &=& 207 \qquad | \qquad : 3 \\ 2n+1 &=& 69 \qquad \text{ This is the second odd number} \end{array} \)

The first integer is 69-2 = 67
The second integer is 69
The third integer is 69+2 = 71

mod(3^111,13)

\(3^{111} \pmod {13} = \ ?\)

SATZ von Euler/Fermat (Euler, 1760)

Für \(n \in N \text{ und } a \in Z \text{ mit } ggT( a, n ) = 1 \text{ gilt: }\\ a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n\)

a = 3 und n = 13. ggT(3,13) = 1. Das heißt 3 und 13 sind relativ prim.

Somit können wir berechnen da 13 eine Primzahl ist \(\varphi(p) = p-1.\qquad \varphi(13) = 12\)

Somit gilt nun auch \(3^{\varphi(13)} \equiv 1 \pmod {13}\\ 3^{12} \equiv 1 \pmod {13}\)

3 hoch 12 geteilt durch 13 ergibt den Rest 1!

Nun rechnen wir weiter.

Wir zerlegen den Exponenten 111 = 12 * 9 + 3, damit wir die Zahl 12 in den Exponenten bekommen.

\(\begin{array}{rcl} 3^{111} \pmod {13} \\ & \equiv & 3^{12\cdot 9 + 3}\pmod {13} \\ & \equiv & 3^{12\cdot 9}\cdot 3^3\pmod {13} \\ & \equiv & (\underbrace{3^{12}}_{=1 \pmod {13}} )^9\cdot 3^3\pmod {13} \\ & \equiv & 1^9 \cdot 3^3\pmod {13} \\ & \equiv & 3^3\pmod {13} \\ & \equiv & 27\pmod {13} \\ & \equiv & 1\pmod {13} \\ \mathbf{3^{111} \pmod {13} }& \mathbf{ \equiv } & \mathbf{1\pmod {13}} \end{array}\)

mod(3^111,13) = 1

Simplify (1/(x-h-4)-1/(x-4))/h Step By Step Please

\(\small{ \begin{array}{rcl} \dfrac{ \dfrac{ 1 } { x-h-4 } - \dfrac{ 1 } { x-4 } } {h} \\ &=& \left( \dfrac{1}{h} \right) \cdot \left( \dfrac{ 1 } { x-h-4 } - \dfrac{ 1 } { x-4 } \right)\\ &=& \left( \dfrac{1}{h} \right) \cdot \left[ \dfrac{ 1\cdot(x-4) - 1\cdot (x-h-4) } { (x-h-4)\cdot (x-4) } \right]\\ &=& \left( \dfrac{1}{h} \right) \cdot \left[ \dfrac{ x -4 -x +h +4 } { (x-h-4)\cdot (x-4) } \right]\\ &=& \left( \dfrac{1}{h} \right) \cdot \left[ \dfrac{ x-x-4+4 +h} { (x-h-4)\cdot (x-4) } \right]\\ &=& \left( \dfrac{1}{h} \right) \cdot \left[ \dfrac{h} { (x-h-4)\cdot (x-4) } \right]\\ &=& \left( \dfrac{h}{h} \right) \cdot \left[ \dfrac{1} { (x-h-4)\cdot (x-4) } \right]\\ &=& \left[ \dfrac{1} { (x-h-4)\cdot (x-4) } \right]\\ \end{array} }\)

wenn mann jetzt vielleicht mit 3 pumpen ein becken in 90 min wie viel pumpen braucht mann um ein becken in 60 min zu füllen

\(\small{ \begin{array}{rcl} 3~ \text{Pumpen} \cdot 90~ \text{Minuten} &=& x \cdot 60~ \text{Minuten} \qquad | \qquad : 60~ \text{Minuten} \\ 3~ \text{Pumpen} \cdot \frac{ 90~ \text{Minuten} } {60~ \text{Minuten}} &=& x \\ x &=& 3~ \text{Pumpen} \cdot \frac{ 90~ \text{Minuten} } {60~ \text{Minuten}} \\ x &=& 3\cdot \frac{ 90 } { 60 }~ \text{Pumpen}\\ x &=& 3\cdot \frac{ 9 } { 6 }~ \text{Pumpen}\\ x &=& \frac{ 9 } { 2 }~ \text{Pumpen}\\ \mathbf{x} & \mathbf{=} & \mathbf{ 4,5~ \text{Pumpen} } \ \ \end{array} }\)

The questions is "A polynomial P(x) and a divisor d(x) are given. Use long division to find the quotient Q(x) and the remainder R(x). Express in the form P(x)=d(x)*q(x)+R(x)

P(x)=x^3 -27

d(x)=x+3

\(\small{ \begin{array}{rcl} (x^3-27) : ( x+3) &=& x^2 - 3x + 9 - \frac{54}{x+3} \qquad | \qquad \cdot (x+3) \\ (x^3-27) &=& ( x+3)( x^2 - 3x + 9 ) -54 \\ \end{array} } \)

\(\int \limits_{1}^{4} -x^2\ dx\)  Wie berechne ich dieses Integral (schriftlich)?

\(\small{ \begin{array}{rcl} \int \limits_{1}^{4} -x^2\ dx &=& -\int \limits_{1}^{4} x^2\ dx \\ &=& - \left[ \frac{x^3} {3} \right]_{1}^{4} \\ &=& - \left( \frac{4^3} {3}- \frac{1^3} {3} \right)\\ &=& - \left( \frac{64} {3}- \frac{1} {3} \right)\\ &=& - \frac{63} {3}\\ &=& - 21\\ \mathbf{ \int \limits_{1}^{4} -x^2\ dx } & \mathbf{=} & \mathbf{- 21 }\\ \end{array} }\)

With 5 resistors of 40 Ohms each, how do you combine to get:

a.48 Ohms

b.32 Ohms

c.50 Ohms

d.80 Ohms

Series                            Parallel

Rt = R1 +R2.......           1/Rt = 1/R1 + 1/R2.....

a. 48 Ohms \(\begin{array}{rcccl} &+&- R_1 - R_2 - R_3-&+& \\ -&|& &|&-\\ &+&-- R_4 - R_5-- &+& \end{array}\)

b. 32 Ohms \(\begin{array}{rcccl} &+&- R_1 - R_2 - R_3- R_4-&+& \\ -&|& &|&-\\ &+&----- R_5 ----- &+& \end{array}\)

c. 50 Ohms \(\begin{array}{rcccl} &+& - R_1 - &+& \\ &+& - R_2 - &+& \\ -&|& &|&-- R_5 --\\ &+& - R_3 - &+& \\ &+& - R_4 - &+& \end{array}\)

d. 80 Ohms \(\begin{array}{rcccl} &+& - R_1 - R_2 - &+& \\ -&|& &|&-- R_5 --\\ &+& - R_3 - R_4 - &+& \end{array}\)