heureka

lim(sqrt(4x^4+x^2+1)-(2x^4+3x^2+x)/(x^2+1)),x->infinity 

\(\lim \limits_{x\to \infty } { \left( \sqrt{4x^4+x^2+1}-\dfrac{ 2x^4+3x^2+x } { x^2+1 } \right) } = \ ? \qquad \sqrt{4x^4+x^2+1} = s \qquad s^2 = 4x^4+x^2+1\\ \)

\(\small{ \begin{array}{rcl} && \sqrt{4x^4+x^2+1} - \dfrac{ 2x^4+3x^2+x } { x^2+1 } \\ &=& s -\dfrac{ 2x^4+3x^2+x } { x^2+1 } \\ &=& \dfrac{ (x^2+1)\cdot s - (2x^4+3x^2+x) } {x^2+1} \\ &=& \left( \dfrac{ (x^2+1)\cdot s - (2x^4+3x^2+x) } {x^2+1} \right) \left( \dfrac{ (x^2+1)\cdot s + (2x^4+3x^2+x) } { (x^2+1)\cdot s + (2x^4+3x^2+x) } \right) \\ &=& \dfrac{ (x^2+1)^2\cdot s^2 - (2x^4+3x^2+x)^2 } { (x^2+1)^2\cdot s + (x^2+1)\cdot (2x^4+3x^2+x) } \\ &=& \dfrac{ (x^2+1)^2\cdot (4x^4+x^2+1) - (2x^4+3x^2+x)^2 } { (x^2+1)^2\cdot s + (x^2+1)\cdot (2x^4+3x^2+x) } \\ &=& \dots \\ &=& \dfrac { 4x^8+9x^6+7x^4+3x^2+1-4x^8-12x^6-4x^5-9x^4-6x^3-x^2 } { (x^4+2x^2+1)\cdot s + 2x^6+5x^4+x^3+3x^2+x } \\ &=& \dfrac { -3x^6-4x^5-2x^4-6x^3+2x^2+1 } { (x^4+2x^2+1)\cdot \sqrt{4x^4+x^2+1} + 2x^6+5x^4+x^3+3x^2+x } \\ &=& \dfrac { -3x^6-4x^5-2x^4-6x^3+2x^2+1 } { (x^4+2x^2+1)\cdot x^2 \sqrt{4+ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4} } + 2x^6+5x^4+x^3+3x^2+x } ~ | ~ \frac{:x^6}{:x^6}\\ &=& \dfrac { -3-4\frac{1}{x}-2\frac{1}{x^2}-6\frac{1}{x^3}+2\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^6} } { \frac{(x^4+2x^2+1)}{x^4}\cdot \sqrt{4+ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4} } + 2+5\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}+3\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^5} } \\ &=& \dfrac { -3-4\frac{1}{x}-2\frac{1}{x^2}-6\frac{1}{x^3}+2\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^6} } { (1+2\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4})\cdot \sqrt{4+ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4} } + 2+5\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}+3\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^5} } \\ \lim \limits_{x\to \infty } { \left( \sqrt{4x^4+x^2+1}-\dfrac{ 2x^4+3x^2+x } { x^2+1 } \right) } &=&\dfrac { -3 } { (1)\cdot \sqrt{4} + 2} \\ \lim \limits_{x\to \infty } { \left( \sqrt{4x^4+x^2+1}-\dfrac{ 2x^4+3x^2+x } { x^2+1 } \right) } &=&\dfrac { -3 } { 2 + 2} \\ \mathbf{ \lim \limits_{x\to \infty } { \left( \sqrt{4x^4+x^2+1}-\dfrac{ 2x^4+3x^2+x } { x^2+1 } \right) } } & \mathbf{=} & \mathbf{\dfrac{ -3 }{ 4} }\\ \end{array} }\)

RE=RA*[1+alpha*(TE-TA)] -> TE = ?

\(\small{ \begin{array}{rcll} R_E &=& R_A\cdot [1+\alpha \cdot (T_E-T_A)] \qquad &| \qquad : R_A \\ \dfrac{R_E}{R_A} &=& 1+\alpha \cdot (T_E-T_A) \qquad &| \qquad -1\\ \dfrac{R_E}{R_A}-1 &=& \alpha \cdot (T_E-T_A) \qquad &| \qquad :\alpha\\ \left(\dfrac{R_E}{R_A}-1 \right)\cdot \left(\dfrac{1}{\alpha} \right) &=& T_E-T_A \qquad &| \qquad +T_A \\ T_A+\left(\dfrac{R_E}{R_A}-1 \right)\cdot \left(\dfrac{1}{\alpha} \right) &=& T_E \\ \mathbf{T_E} & \mathbf{=} & \mathbf{T_A+\left(\dfrac{R_E}{R_A}-1 \right)\cdot \left(\dfrac{1}{\alpha} \right)} \\ \mathbf{T_E} & \mathbf{=} & \mathbf{T_A+ \dfrac{R_E-R_A}{R_A\cdot \alpha} } \\ \end{array} }\)

lim((sqrt(x+3)-2)/sqrt(x-1)),x->1

\(\small{ \begin{array}{rcl} \lim \limits_{x\to 1} { \left( \dfrac{ \sqrt{x+3} -2 } { \sqrt{x-1} } \right) }=\ ?\\ \end{array} }\)

\(\small{ \begin{array}{rcl} \dfrac{ \sqrt{x+3} -2 } { \sqrt{x-1} } &=& \dfrac{ \sqrt{x+3} -2 } { \sqrt{x-1} } \cdot \left( \dfrac{ \sqrt{x+3} +2 }{ \sqrt{x+3} +2 } \right) \cdot \left( \dfrac{ \sqrt{x-1} } { \sqrt{x-1} } \right)\\ &=& \dfrac{ (x+3-4 )(\sqrt{x-1}) } { ( x-1 ) \cdot (\sqrt{x+3} +2) } \qquad (\sqrt{x+3} -2)(\sqrt{x+3} +2) = (\sqrt{x+3})^2 -2^2\\ &=& \dfrac{ (x-1)(\sqrt{x-1}) } { ( x-1 ) \cdot (\sqrt{x+3} +2) } \\ &=& \dfrac{ (\sqrt{x-1}) } { (\sqrt{x+3} +2) } \\ \lim \limits_{x\to 1} { \left( \dfrac{ \sqrt{x+3} -2 } { \sqrt{x-1} } \right) }&=& \lim \limits_{x\to 1} { \left( \dfrac{ \sqrt{x-1} } { \sqrt{x+3} +2 } \right) }\\ &=& \dfrac{ \sqrt{1-1} } { \sqrt{1+3} +2 }\\ &=& \dfrac{ \sqrt{0} } { \sqrt{4} +2 }\\ &=& \dfrac{ 0 } { 2 +2 }\\ &=& \dfrac{ 0 } { 4}\\ \mathbf{ \lim \limits_{x\to 1} { \left( \dfrac{ \sqrt{x+3} -2 } { \sqrt{x-1} } \right) } } & \mathbf{=} & \mathbf{ 0 } \end{array} }\)

Wie schnell dreht sich die Erde um die Sonne?

Die Geschwindigkeit, mit der die Erde auf ihrer Bahn um die Sonne umläuft, schwankt ein wenig, da sich die Erde nicht genau kreisförmig um die Sonne bewegt: Die maximale Geschwindigkeit beträgt 30,29 Kilometer pro Sekunde, die minimale Geschwindigkeit 29,29 Kilometer pro Sekunde. Die mittlere Geschwindigkeit beträgt 29,78 Kilometer pro Sekunde.

Überschlagsmäßig kann man sich dies übrigens auch schnell selbst ausrechnen: Die Erde ist von der Sonne rund 150 Millionen Kilometer entfernt, legt also - wenn wir für diese Rechnung eine Kreisbahn annehmen - in jedem Jahr 2 * Pi * 150 Millionen Kilometer zurück (den Umfang eines Kreises mit einem Radius von 150 Millionen Kilometer). Das sind rund 942 Millionen Kilometer. Teilt man dies durch 365,25 erhält man die Geschwindigkeit pro Tag,  teilt man den Wert erneut durch 24, die Geschwindigkeit pro Stunde (107461 Kilometer pro Stunde). Teilt man diesen Wert nun durch 3.600 (60*60) erhält man die Geschwindigkeit pro Sekunde, in diesem Fall 29,85 Kilometer pro Sekunde. (ds/2. Mai 2013)

Haben Sie auch eine Frage? Frag astronews.com.

Are there two ways to solve the problem "4n-7+2n=7"?

Second way to solve:

\(\small{ \begin{array}{rcl} 4n-7+2n &=& 7 \\ 4n - 7 + 2n - 7 &=& 0 \\ 2n + 2n -7+2n-7 &=& 0 \\ 2n + (2n-7)+(2n-7) &=& 0 \\ 2n + 2(2n-7) &=& 0 \\ 2(2n-7) &=& - 2n \\ 2n-7 &=& -n \\ 3n &=& 7 \\ \mathbf{n} & \mathbf{=} & \mathbf{ \dfrac{7}{3} } \end{array} } \)

Wenn ca. 20 Kinder in einer Klasse sind und es 15 Klassen gibt. Wie viele Schüler sind auf der Schule?

\(\small{ \begin{array}{rcl} 20~\dfrac{ \text{Kinder} } { \text{Klasse} } \cdot 15~\text{Klassen } \\ &=& 20\cdot 15 ~\text{Kinder} \\ &\mathbf{=}& \mathbf{ 300 ~\text{Kinder} } \end{array} }\)

In der Schule sind 300 Schüler.

how does this work, (2/3)^-3

\(\small{ \begin{array}{rcl} \left(\dfrac23 \right)^{-3} &=& \left(\dfrac32 \right)^{3}\\\\ &=& \dfrac{27}{8} \\ \mathbf{ \left(\dfrac23\right)^{-3} } &\mathbf{=}& \mathbf{3.375} \end{array} }\)

(50*r)/(50+r)=9,5 umstellen nach r

\(\small{ \begin{array}{rcl} \dfrac{ 50\cdot r} { 50+r } &=& 9,5 \\ \\ \dfrac{ 50\cdot r} { 50+r }\cdot \dfrac{(50\cdot r)}{(50\cdot r)} &=& 9,5 \\ \\ \dfrac{ \frac{50\cdot r}{50\cdot r} } { \frac{50}{50\cdot r} +\frac{r}{50\cdot r} } &=& 9,5 \\\\ \dfrac{ 1 } { \frac{1}{r} +\frac{1}{50} } &=& 9,5 \\\\ \dfrac{1}{r} +\dfrac{1}{50} &=& \dfrac{1}{9,5}\\\\ \dfrac{1}{r} &=& \dfrac{1}{9,5}-\dfrac{1}{50}\\\\ \dfrac{1}{r} &=& \dfrac{50-9,5}{50\cdot 9,5}\\\\ r &=& \dfrac{50\cdot 9,5}{50-9,5}\\\\ r &=& \dfrac{475}{40,5}\\\\ r &=& \dfrac{4750}{405}\\\\ r &=& \dfrac{950}{81}\\\\ r &=& 11\dfrac{59}{81}\\\\ \mathbf{r} &\mathbf{=} & \mathbf{11.7283950617} \end{array} }\)

What is (1 3/4 + 2 1/3)+4 2/3

\(\begin{array}{rcl} \left(1 \frac34 + 2 \frac13 \right)+4 \frac23 \\ &=& 1 \frac34 + 2 \frac13+4 \frac23 \\ &=& 1 + \frac34 + 2 + \frac13+4 + \frac23 \\ &=& 1 + 2 + 4 + \frac34 + \frac13 + \frac23 \qquad | \qquad \frac13 + \frac23 = \frac33 = 1 \\ &=& 1+2+4 + \frac34 + 1\\ &=& 1+2+4+1+ \frac34 \\ &=& 8 + \frac34 \\ &=& 8 \frac34 \\ &=& 8.75 \end{array} \)