Zwischen x-Achse, y-Achse und der Funktion f(x)= soll ein Rechteck möglichst großer Fläche gelegt werden.

Zwischen x-Achse, y-Achse und der Funktion f(x)= $${{\mathtt{e}}}^{{\mathtt{\,-\,}}{\mathtt{x}}}$$ soll ein Rechteck möglichst großer Fläche gelegt werden.

$$\small{\text{
$
\boxed{A=x*f(x) \qquad \frac{dA}{dx}=1*f(x)+x*f'(x)\qquad \frac{dA}{dx}=0 \text{ setzen} }
$
}}\\\\
\small{\text{
$
f(x) + x * f'(x)=0 \qquad | \quad f(x) = e^{-x} \quad f'(x) = e^{-x}*(-1)
$
}}\\
\small{\text{
$
e^{-x}+x*(-1)e^{-x}=0
$
}}\\
\small{\text{
$
e^{-x}-xe^{-x}=0
$
}}\\
\small{\text{
$
xe^{-x}=e^{-x}
$
}}\\
\small{\text{
$
x=\frac{e^{-x} }{ e^{-x} }
$
}}\\
\small{\text{
$
\textcolor[rgb]{1,0,0}{x=1}
$
}}\\\\
\small{\text{
$
A=x*e^{-x} \quad | \quad x = 1
$
}}\\
\small{\text{
$
A_{max}=1*e^{-1}
$
}}\\\\
\small{\text{
$
\textcolor[rgb]{1,0,0}{A_{max}=\dfrac{1}{e}} = 0.36787944117
$
}}\\$$