Hallo,
ich verzweifle momentan an dieser Textaufgabe:
Gegeben ist der Graph der zweiten Ableitungsfunktion f” einer Funktion f (Fig. 2). Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch? Begründen Sie Ihre Antwort.
a) Der Graph von f ist im Bereich –0,3 < x < 2 rechtsgekrümmt.
b) Der Graph von f hat an der Stelle x = 0 einen Sattelpunkt.
c) Der Graph von f ändert an der Stelle x = 0,8 sein Krümmungsverhalten.
Ich habe zwar die Lösungen dafür, jedoch verstehe ich sie nicht bzw. kann den Zusammenfang nicht erkennen:
a) Falsch. Für -0,5 < x < 2 nimmt f"(x) sowohl Werte größer als auch kleiner null an.
b) Falsch. f'(0) muss nicht null sein, das ist aber Voraussetzung für einen Sattelpunkt.
c) Falsch. f" hat an der Stelle x=0,8 ein Maximum, f' hat somit an diser Stelle eine Nullstelle, f ändern sein Krümungsverhalten nicht.
Kann mir bitte jemand das ausfürlich erklären, wie ich diese Textaufgabe lösen muss bzw. wie ich vorgehen müsste? Wir haben für solche Aufgabe diese Eselsbrücke(kann leider damit auch nichts anfangen):
Nullpunkt Extrempunkt Wendestelle
f'(x) Nullpunkt Extrempunkt Wendestelle
f"(x) Nullpunkt Extrempunkt Wendestelle
PS: Es soll nicht rechnerich gelöst werden.
+15000 Ich habe am 11.8.2017 eine Antwort zu einer ähnlichen Frage gegeben.
Bitte schaue dort mal nach.
Gib dazu ins Feld Suche 11.08.2017 ein. Danach drücke Enter.
Es erscheint GOOGLE. Drücke nochmal Enter. Die 2. Frage von oben müsste es sein.
!
Hallo asinus,
danke für den Tipp. Ich soll aber die Textaufgabe nicht rechnerisch lösen bzw. wir haben deine Rechenweise noch gar nicht durchgenommen. Ich verstehe die Lösung nicht, warum z.B. bei a) -0,5 < x < 2 f"(x) sowohl Werte größer als auch kleiner null annimmt. Woher weiß ich denn, dass der Graph bis -0,5 geht? Der Graph in der Abbildung geht doch nur bis -2.
+15000 Hallo Gast!
Auch ich hatte ein Problem mit der Bewertung der Aussagen a) bis d) mit richtig und falsch.
Ich habe deshalb, um mir ein Bild machen zu können, die Funktionsgleichungen f '', f ' und f(x) errechnet und ihre Graphen mit dem MatheGrafix dargestellt. Das ist kein Teil deiner Aufgabe. Ich habe es nur gemacht, um selbst die Aufgabe verstehen zu können, und ich glaube, dass es auch dir mit den Graphen besser gelingt, zu verstehen, was gemeint ist.
Falls es dich interessiert: Die Funktionsgleichung der f ''(x) habe ich in meiner Antwort vom 11.08.2017 errechnet. Die erste Ableitung f '(x) und die Stammfunktion f (x) habe ich mit Hilfe des Integralrechners https://www.integralrechner.de/ integriert.
2. Ableitung: \(f''(x)=0,65078125x^3-3,905x^2+5,206875x\)
1. Ableitung : \(f'(x)=\large\frac{12495x^4−99968x^3+199944x^2}{76800}+C\)
Stammfunktion: \(f(x)=\large\frac{2499x^5−24992x^4+66648x^3}{76800}+cx+C\)
Nun zur eigentlichen Aufgabe:
Deine Eselsbrücke ist hierbei sehr nützlich.
Antwort zur Frage a)
Der Graph von f(x) ist im Bereich -0,3 < x <2 eine Rechtskurve?
Falsch.
f ''(x) hat bei x=0 eine Nullstelle (y=0). f(x) hat dort einen Wendepunkt (Eselsbrücke), ist also keine Rechtskurve, sondern ändert bei x=0 die Krümmung.
Antwort zur Frage b)
Der Graph von f(x) hat an der Stelle x=2 eine Wendestelle?
Richtig.
f ''(x) hat bei x=2 eine Nullstelle. f(x) hat dort eine Wendestelle (Eselsbrücke), geht aus einer Linkskurve in eine Rechtskurve.
Antwort zur Frage c)
Der Graph von f(x) hat an der Stelle x=0 einen Sattelpunkt?
Falsch.
f ' muss nicht gleich 0 sein.
Nur richtig, wenn in
\(f'(x)=\large\frac{12495x^4−99968x^3+199944x^2}{76800}+C\)
C gleich Null ist, wie in meiner Graphen-Darstellung.
Antwort zur Frage d)
Der Graph von f(x) ändert an der Stelle x=0,8 sein Krümmungsverhalten?
Falsch.
Das Maximum von f ''(x) bei x=0,8 zeigt keine Änderung des Krümmungsverhaltens von f(x) an.
f(x) verbleibt dort in einer Linkskurve.
So das war es für heute.
Hoffentlich konnte ich dir helfen.
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