Hallo,
Kann jemand bitte die Lösung geben , weil ich nicht weiß, wie ich damit anfangen soll
Wir betrachten die Funktion
f: (−1;+∞) → R, x→ log(1 + x)
a) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass f(n)(x)=(−1)n−1(n−1)!(1+x)n
für alle x ∈ (−1;+∞) und n ∈ N.
+3976 Der Induktionsanfang ist noch leicht: Wir leiten log(1+x) ab, das liefert 1/(1+x). Setzen wir n=1 in die zu zeigende Formel ein, erhalten wir ebenfalls 1/(1+x). Damit ist der Induktionsanfang abgeschlossen.
Sei nun die Aussage wahr für eine natürliche Zahl n. Wir zeigen, dass die Aussage dann auch für n+1 stimmt, indem wir die zu zeigende Formel nochmal ableiten:
[(−1)n−1⋅(n−1)!(1+x)n]′=[(−1)n−1⋅(n−1)!⋅(1+x)−n]′=(−1)n−1⋅(n−1)!⋅(−n)⋅(1+x)−n−1=(−1)n−1⋅(n−1)!⋅(−1)⋅n⋅(1+x)−(n+1)=(−1)n⋅(n)!⋅(1+x)−(n+1)=(−1)n⋅n!(1+x)n+1
Setzen wir für n in der zu zeigenden Formel n+1 ein, so erhalten wir das gleiche Ergebnis. Damit sind wir fertig.
