Hallo,
Kann jemand bitte die Lösung \( \)geben , weil ich nicht weiß, wie ich damit anfangen soll
Wir betrachten die Funktion
f: (−1;+∞) → R, x→ log(1 + x)
a) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass \(f^{(n)}(x)= (−1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^n}\)
für alle x ∈ (−1;+∞) und n ∈ N.
\(\)
+3976 Der Induktionsanfang ist noch leicht: Wir leiten log(1+x) ab, das liefert 1/(1+x). Setzen wir n=1 in die zu zeigende Formel ein, erhalten wir ebenfalls 1/(1+x). Damit ist der Induktionsanfang abgeschlossen.
Sei nun die Aussage wahr für eine natürliche Zahl n. Wir zeigen, dass die Aussage dann auch für n+1 stimmt, indem wir die zu zeigende Formel nochmal ableiten:
\([ (-1)^{n-1} \cdot \frac{(n-1)!}{(1+x)^n}]' = \\ [ (-1)^{n-1} \cdot (n-1)!\cdot (1+x)^{-n}]' = \\ (-1)^{n-1} \cdot (n-1)! \cdot (-n) \cdot (1+x)^{-n-1} = \\ (-1)^{n-1} \cdot (n-1)! \cdot (-1)\cdot n \cdot (1+x)^{-(n+1)} = \\ (-1)^{n} \cdot (n)! \cdot (1+x)^{-(n+1)} = \\ (-1)^n \cdot \frac{n!}{(1+x)^{n+1}}\)
Setzen wir für n in der zu zeigenden Formel n+1 ein, so erhalten wir das gleiche Ergebnis. Damit sind wir fertig.
