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Hallo,  

 

Kann jemand bitte die Lösung geben , weil ich nicht weiß, wie ich damit anfangen soll

 

Wir betrachten die Funktion
f: (−1;+∞) → R, x→ log(1 + x)

 

a) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass f(n)(x)=(1)n1(n1)!(1+x)n

  für alle x ∈ (−1;+∞) und n ∈ N.

 

 

 

 

 

 

 04.02.2022
bearbeitet von Gast  04.02.2022
 #1
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Der Induktionsanfang ist noch leicht: Wir leiten log(1+x) ab, das liefert 1/(1+x). Setzen wir n=1 in die zu zeigende Formel ein, erhalten wir ebenfalls 1/(1+x). Damit ist der Induktionsanfang abgeschlossen. 

 

Sei nun die Aussage wahr für eine natürliche Zahl n. Wir zeigen, dass die Aussage dann auch für n+1 stimmt, indem wir die zu zeigende Formel nochmal ableiten:

 

[(1)n1(n1)!(1+x)n]=[(1)n1(n1)!(1+x)n]=(1)n1(n1)!(n)(1+x)n1=(1)n1(n1)!(1)n(1+x)(n+1)=(1)n(n)!(1+x)(n+1)=(1)nn!(1+x)n+1

 

Setzen wir für n in der zu zeigenden Formel n+1 ein, so erhalten wir das gleiche Ergebnis. Damit sind wir fertig.

 04.02.2022
 #2
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Vielen Dank für die Antwort

Gast 04.02.2022

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