Zeigen Sie für alle \( z, w \in \mathbb{C}: \)
(a) \( \sin (z)^{2}=\frac{1}{2}(1-\cos (2 z)) \)
(b) \( \sin z+\sin w=2 \sin \frac{z+w}{2} \cos \frac{z-w}{2} \)
(c) \( \quad \sin (3 z)=\sin (z)\left(3-4 \sin (z)^{2}\right) \).
+15000 Zeigen Sie für alle \(z, w \in \mathbb{C}: \)
\((a)\ \sin (z)^{2}=\frac{1}{2}(1-\cos (2 z))\\ (b)\ \sin z+\sin w=2 \sin \frac{z+w}{2} \cos \frac{z-w}{2}\\ (c)\ \quad \sin (3 z)=\sin (z)\left(3-4 \sin (z)^{2}\right). \)
Hallo Gast!
(a)
\( \sin^2 (z)=\frac{1}{2}(1-\cos (2 z))\)
\(cos(2z)=2cos^2(z)-1\\ sin^2(z)=1-cos^2(z)\)
\(1-cos^2(z)=\frac{1}{2}(1-(2cos^2(z)-1))\)
\(cos^2(z)⇒x\\ 1-x=\frac{1}{2}(1-(2x-1))\\ 2-2x=1-2x+1\\ 2-2x=2-2x\\ x⇒cos^2(z)\)
\(2-2cos^2(z)=2-2cos^2(z)\)
(b)
\(\sin z+\sin w=2 \sin \frac{z+w}{2} \cos \frac{z-w}{2}\)
(c)
\(sin (3 z)=\sin (z)\left(3-4 \sin (z)^{2}\right). \)
Die Terme auf beiden Seiten der Gleichungen (a), (b) und (c) haben für alle \(w,z\in \mathbb C\) eingesetzten Zahlen gleiche Werte.
Deshalb sind
\(w,z\in \mathbb C\\ \mathbb C=\{w,z=a+bi|a,b\in \mathbb R,i=\sqrt{-1}\}\\\)
!
