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Zeigen Sie für alle \( z, w \in \mathbb{C}: \)

(a) \( \sin (z)^{2}=\frac{1}{2}(1-\cos (2 z)) \)

(b) \( \sin z+\sin w=2 \sin \frac{z+w}{2} \cos \frac{z-w}{2} \)

(c) \( \quad \sin (3 z)=\sin (z)\left(3-4 \sin (z)^{2}\right) \).

 22.12.2020
 #1
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Zeigen Sie für alle \(z, w \in \mathbb{C}: \)

 

\((a)\ \sin (z)^{2}=\frac{1}{2}(1-\cos (2 z))\\ (b)\ \sin z+\sin w=2 \sin \frac{z+w}{2} \cos \frac{z-w}{2}\\ (c)\ \quad \sin (3 z)=\sin (z)\left(3-4 \sin (z)^{2}\right). \)

 

Hallo Gast!

 

(a) 

\( \sin^2 (z)=\frac{1}{2}(1-\cos (2 z))\)

\(cos(2z)=2cos^2(z)-1\\ sin^2(z)=1-cos^2(z)\)

\(1-cos^2(z)=\frac{1}{2}(1-(2cos^2(z)-1))\)

\(cos^2(z)⇒x\\ 1-x=\frac{1}{2}(1-(2x-1))\\ 2-2x=1-2x+1\\ 2-2x=2-2x\\ x⇒cos^2(z)\)

\(2-2cos^2(z)=2-2cos^2(z)\)

 

(b)

\(\sin z+\sin w=2 \sin \frac{z+w}{2} \cos \frac{z-w}{2}\)

(c)

\(sin (3 z)=\sin (z)\left(3-4 \sin (z)^{2}\right). \)

 

Die Terme auf beiden Seiten der Gleichungen (a), (b) und (c) haben für alle \(w,z\in \mathbb C\) eingesetzten Zahlen gleiche Werte.

Deshalb sind

\(w,z\in \mathbb C\\ \mathbb C=\{w,z=a+bi|a,b\in \mathbb R,i=\sqrt{-1}\}\\\)

laugh  !

 03.01.2021
bearbeitet von asinus  04.01.2021
bearbeitet von asinus  05.01.2021
bearbeitet von asinus  05.01.2021

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