Zeigen Sie für alle $z, w \in \mathbb{C}:$

Zeigen Sie für alle $z, w \in \mathbb{C}:$

$(a)\ \sin (z)^{2}=\frac{1}{2}(1-\cos (2 z))\\ (b)\ \sin z+\sin w=2 \sin \frac{z+w}{2} \cos \frac{z-w}{2}\\ (c)\ \quad \sin (3 z)=\sin (z)\left(3-4 \sin (z)^{2}\right).$

Hallo Gast!

(a) 

$\sin^2 (z)=\frac{1}{2}(1-\cos (2 z))$

$cos(2z)=2cos^2(z)-1\\ sin^2(z)=1-cos^2(z)$

$1-cos^2(z)=\frac{1}{2}(1-(2cos^2(z)-1))$

$cos^2(z)⇒x\\ 1-x=\frac{1}{2}(1-(2x-1))\\ 2-2x=1-2x+1\\ 2-2x=2-2x\\ x⇒cos^2(z)$

$2-2cos^2(z)=2-2cos^2(z)$

(b)

$\sin z+\sin w=2 \sin \frac{z+w}{2} \cos \frac{z-w}{2}$

(c)

$sin (3 z)=\sin (z)\left(3-4 \sin (z)^{2}\right).$

Die Terme auf beiden Seiten der Gleichungen (a), (b) und (c) haben für alle $w,z\in \mathbb C$ eingesetzten Zahlen gleiche Werte.

Deshalb sind

$w,z\in \mathbb C\\ \mathbb C=\{w,z=a+bi|a,b\in \mathbb R,i=\sqrt{-1}\}\\$

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