Zeigen Sie durch Induktion ¨uber n und mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes die Pascal’sche Identität

Zeigen Sie durch Induktion über n und mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes die Pascal'sche Identität:

Ich vermute die Aufgabe lautet folgendermaßen:

$\displaystyle \sum \limits_{p=0}^{q}\begin{pmatrix}q+1\\p\end{pmatrix}s_{n}(p)=(n+1)^{q+1}-1 \\ \text{Es sei im folgenden } \displaystyle s_{n}(p)= \sum \limits_{k=1}^{n} k^p$

Beweise mit vollständiger Induktion:

$\displaystyle \sum \limits_{p=0}^{q}\begin{pmatrix}q+1\\p\end{pmatrix}s_{n}(p)=(n+1)^{q+1}-1,\ \text{ für alle } n \ge 1$

Induktionsanfang:

$\begin{array}{|lll|} \hline n=1 & \text{linke Seite:} & \displaystyle \sum\limits_{p=0}^{q} \begin{pmatrix}q+1\\p\end{pmatrix}s_{1}(p) \qquad \boxed{s_1(p) = \displaystyle\sum \limits_{k=1}^{1} k^p = 1^p = 1 } \\ & &= \displaystyle \sum\limits_{p=0}^{q} \begin{pmatrix}q+1\\p\end{pmatrix} \\ & &= \displaystyle \begin{pmatrix}q+1\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}q+1\\1\end{pmatrix} + \ldots + \begin{pmatrix}q+1\\q\end{pmatrix} \\ & &= \displaystyle \begin{pmatrix}q+1\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}q+1\\1\end{pmatrix} + \ldots + \begin{pmatrix}q+1\\q\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}q+1\\q+1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}q+1\\q+1\end{pmatrix} \\ & &= \left(1+1\right)^{q+1} - \begin{pmatrix}q+1\\q+1\end{pmatrix} \\ & &= \left(1+1\right)^{q+1} - 1 \\ & &\mathbf{= 2^{q+1}-1} \\\\ & \text{rechte Seite:} & \left(1+1\right)^{q+1} - 1 \\ & &\mathbf{= 2^{q+1}-1} \\ \hline \end{array}$

$\text{Für $\mathbf{n=1}$ sind beide Seiten gleich, und die Aussage ist wahr!}$

Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:

$\begin{array}{|rcll|} \hline \displaystyle \sum \limits_{p=0}^{q}\begin{pmatrix}q+1\\p\end{pmatrix}s_{n}(p)=(n+1)^{q+1}-1 \\ \hline \end{array}$

Der Induktionsschluss von $\mathbf{n}$ nach $\mathbf{n+1}$:

$\begin{array}{|rcll|} \hline \displaystyle \sum \limits_{p=0}^{q}\begin{pmatrix}q+1\\p\end{pmatrix}s_{n+1}(p) &=& \Big((n+1)+1\Big)^{q+1}-1 \\ &=& \left(n+2\right)^{q+1}-1 \\ \hline \end{array}$

$\bf{\text{linke Seite Vorbereitung :}} \\ \begin{array}{|rcl|} \hline \displaystyle s_{n+1}(p) &=& \displaystyle \sum \limits_{k=1}^{n+1} k^p \\ &=& \displaystyle \sum \limits_{k=1}^{n} k^p +(n+1)^p \\ &=& \displaystyle s_{n}(p) +(n+1)^p \\ \hline \end{array}$

$\small{ \bf{\text{linke Seite:}} \\ \begin{array}{|rcll|} \hline \mathbf{\displaystyle \sum \limits_{p=0}^{q}\begin{pmatrix}q+1\\p\end{pmatrix}s_{n+1}(p) } \\ &=& \displaystyle\sum \limits_{p=0}^{q}\begin{pmatrix}q+1\\p\end{pmatrix} \Big( s_{n}(p) +(n+1)^p \Big) \\\\ &=& \displaystyle\sum \limits_{p=0}^{q}\begin{pmatrix}q+1\\p\end{pmatrix} s_{n}(p)+\sum \limits_{p=0}^{q}\begin{pmatrix}q+1\\p\end{pmatrix} (n+1)^p \\\\ &\overset{I.A.}{=} & \displaystyle (n+1)^{q+1}-1 +\sum \limits_{p=0}^{q}\begin{pmatrix}q+1\\p\end{pmatrix} (n+1)^p \\ &=& \displaystyle\sum \limits_{p=0}^{q}\begin{pmatrix}q+1\\p\end{pmatrix} (n+1)^p + (n+1)^{q+1}-1 \\ &=& \begin{pmatrix}q+1\\0\end{pmatrix}(n+1)^0 + \begin{pmatrix}q+1\\1\end{pmatrix}(n+1)^1 + \ldots + \begin{pmatrix}q+1\\q\end{pmatrix}(n+1)^q + (n+1)^{q+1}-1 \\ &=& \begin{pmatrix}q+1\\0\end{pmatrix}(n+1)^0 + \begin{pmatrix}q+1\\1\end{pmatrix}(n+1)^1 + \ldots + \begin{pmatrix}q+1\\q\end{pmatrix}(n+1)^q + \begin{pmatrix}q+1\\q+1\end{pmatrix}(n+1)^{q+1}-1 \\ &=& \Big((n+1)+1\Big)^{q+1}-1 \\ &=& \mathbf{\Big(n+2\Big)^{q+1}-1} \\ \hline \end{array} }$

$\bf{\text{rechte Seite:}} \\ \begin{array}{|ll|} \hline \mathbf{\Big((n+1)+1\Big)^{q+1}-1 } \\\\ &=& \mathbf{\Big(n+2\Big)^{q+1}-1} \\ \hline \end{array}$

$\bf{\text{Ergebnis:}} \\ \begin{array}{|ll|} \hline \displaystyle \Big(n+2\Big)^{q+1}-1 = \Big(n+2\Big)^{q+1}-1\ \checkmark \\ \hline \end{array}$

Danke heureka!

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