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Zeigen Sie durch Induktion ¨uber n und mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes die Pascal’sche Identität

\(\sum \limits_{p=0}^{q}\begin{pmatrix}q+1\\p\end{pmatrix}s_{p}(n)=(n+1)^{q+1}-1\)

 

Folgern sie, dass

\(s_n(4) = \frac{1}{30} n(n + 1)(2n + 1)(3n 2 + 3n − 1). \)

 

Kann einer helfen, komme überhaupt nicht weiter

Danke

 22.04.2019
 #1
avatar+22515 
+1

Zeigen Sie durch Induktion über n und mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes die Pascal'sche Identität:

 

Ich vermute die Aufgabe lautet folgendermaßen:

\(\displaystyle \sum \limits_{p=0}^{q}\begin{pmatrix}q+1\\p\end{pmatrix}s_{n}(p)=(n+1)^{q+1}-1 \\ \text{Es sei im folgenden } \displaystyle s_{n}(p)= \sum \limits_{k=1}^{n} k^p\)

 

Beweise mit vollständiger Induktion:

\(\displaystyle \sum \limits_{p=0}^{q}\begin{pmatrix}q+1\\p\end{pmatrix}s_{n}(p)=(n+1)^{q+1}-1,\ \text{ für alle } n \ge 1\)

 

Induktionsanfang:

\(\begin{array}{|lll|} \hline n=1 & \text{linke Seite:} & \displaystyle \sum\limits_{p=0}^{q} \begin{pmatrix}q+1\\p\end{pmatrix}s_{1}(p) \qquad \boxed{s_1(p) = \displaystyle\sum \limits_{k=1}^{1} k^p = 1^p = 1 } \\ & &= \displaystyle \sum\limits_{p=0}^{q} \begin{pmatrix}q+1\\p\end{pmatrix} \\ & &= \displaystyle \begin{pmatrix}q+1\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}q+1\\1\end{pmatrix} + \ldots + \begin{pmatrix}q+1\\q\end{pmatrix} \\ & &= \displaystyle \begin{pmatrix}q+1\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}q+1\\1\end{pmatrix} + \ldots + \begin{pmatrix}q+1\\q\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}q+1\\q+1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}q+1\\q+1\end{pmatrix} \\ & &= \left(1+1\right)^{q+1} - \begin{pmatrix}q+1\\q+1\end{pmatrix} \\ & &= \left(1+1\right)^{q+1} - 1 \\ & &\mathbf{= 2^{q+1}-1} \\\\ & \text{rechte Seite:} & \left(1+1\right)^{q+1} - 1 \\ & &\mathbf{= 2^{q+1}-1} \\ \hline \end{array} \)

 

\(\text{Für $\mathbf{n=1}$ sind beide Seiten gleich, und die Aussage ist wahr!}\)

 

Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \displaystyle \sum \limits_{p=0}^{q}\begin{pmatrix}q+1\\p\end{pmatrix}s_{n}(p)=(n+1)^{q+1}-1 \\ \hline \end{array}\)

 

Der Induktionsschluss von \(\mathbf{n}\) nach \(\mathbf{n+1}\):

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \displaystyle \sum \limits_{p=0}^{q}\begin{pmatrix}q+1\\p\end{pmatrix}s_{n+1}(p) &=& \Big((n+1)+1\Big)^{q+1}-1 \\ &=& \left(n+2\right)^{q+1}-1 \\ \hline \end{array} \)

 

\(\bf{\text{linke Seite Vorbereitung :}} \\ \begin{array}{|rcl|} \hline \displaystyle s_{n+1}(p) &=& \displaystyle \sum \limits_{k=1}^{n+1} k^p \\ &=& \displaystyle \sum \limits_{k=1}^{n} k^p +(n+1)^p \\ &=& \displaystyle s_{n}(p) +(n+1)^p \\ \hline \end{array} \)

\(\small{ \bf{\text{linke Seite:}} \\ \begin{array}{|rcll|} \hline \mathbf{\displaystyle \sum \limits_{p=0}^{q}\begin{pmatrix}q+1\\p\end{pmatrix}s_{n+1}(p) } \\ &=& \displaystyle\sum \limits_{p=0}^{q}\begin{pmatrix}q+1\\p\end{pmatrix} \Big( s_{n}(p) +(n+1)^p \Big) \\\\ &=& \displaystyle\sum \limits_{p=0}^{q}\begin{pmatrix}q+1\\p\end{pmatrix} s_{n}(p)+\sum \limits_{p=0}^{q}\begin{pmatrix}q+1\\p\end{pmatrix} (n+1)^p \\\\ &\overset{I.A.}{=} & \displaystyle (n+1)^{q+1}-1 +\sum \limits_{p=0}^{q}\begin{pmatrix}q+1\\p\end{pmatrix} (n+1)^p \\ &=& \displaystyle\sum \limits_{p=0}^{q}\begin{pmatrix}q+1\\p\end{pmatrix} (n+1)^p + (n+1)^{q+1}-1 \\ &=& \begin{pmatrix}q+1\\0\end{pmatrix}(n+1)^0 + \begin{pmatrix}q+1\\1\end{pmatrix}(n+1)^1 + \ldots + \begin{pmatrix}q+1\\q\end{pmatrix}(n+1)^q + (n+1)^{q+1}-1 \\ &=& \begin{pmatrix}q+1\\0\end{pmatrix}(n+1)^0 + \begin{pmatrix}q+1\\1\end{pmatrix}(n+1)^1 + \ldots + \begin{pmatrix}q+1\\q\end{pmatrix}(n+1)^q + \begin{pmatrix}q+1\\q+1\end{pmatrix}(n+1)^{q+1}-1 \\ &=& \Big((n+1)+1\Big)^{q+1}-1 \\ &=& \mathbf{\Big(n+2\Big)^{q+1}-1} \\ \hline \end{array} } \)

 

\(\bf{\text{rechte Seite:}} \\ \begin{array}{|ll|} \hline \mathbf{\Big((n+1)+1\Big)^{q+1}-1 } \\\\ &=& \mathbf{\Big(n+2\Big)^{q+1}-1} \\ \hline \end{array}\)

 

\(\bf{\text{Ergebnis:}} \\ \begin{array}{|ll|} \hline \displaystyle \Big(n+2\Big)^{q+1}-1 = \Big(n+2\Big)^{q+1}-1\ \checkmark \\ \hline \end{array}\)

 

 

laugh

 24.04.2019
 #2
avatar+8339 
+2

Danke heureka!

laugh  !

 24.04.2019
 #3
avatar+22515 
+2

Danke asinus!

 

laugh

heureka  24.04.2019

7 Benutzer online

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