Ich habe morgen meine Mathe Prüfung und habe Beispielsweise eine vollst. Induktion Aufgabe gesehen und nachgerechnet. Leider konnte ich sie nicht lösen und frage daher andere Leute, welche mir eventuell helfen können. Die Aufgabe:
Zeigen Sie durch vollst. Induktion: n e IN
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} n^3 = 1/4 n^2 * (n+1)^2\)
Danke schon mal im Vorraus!
VB
+3976 Ich geh' mal davon aus, dass im Summenzeichen i3 statt n3 stehen sollte, sonst ist die linke Seite einfach n4 und die Aussage offensichtlich falsch.
Zunächst der Induktionsanfang: n=1
Dann ist die linke Seite nur ein Summand, nämlich 13=1, und die rechte Seite ist 1/4*12*(1+1)2=1 - passt!
Wir nehmen nun an (Induktionsvoraussetzung IV), dass die Aussage für eine Zahl n gilt und folgern sie für n+1.
Wir wollen also, basierend auf der IV, zeigen, dass gilt
\(\sum_{i=1}^{n+1} i^3 = \frac{1}{4} \cdot (n+1)^2 \cdot (n+1+1)^2\)
Dafür betrachte ich die linke und die rechte Seite einzeln und zeige, dass sie gleich sind:
Erst links:
\(\sum_{i=1}^{n+1}i^3 = \sum_{i=1}^ni^3 + (n+1)^3 =^* \\ \frac{1}{4} n^2 \cdot (n+1)^2 + (n+1)^3 = \\ \frac{1}{4} n^2 \cdot (n^2+2n+1) + n^3+3n^2+3n+1 = \\ \frac{1}{4}n^4 + \frac{1}{2} n^3 + \frac{1}{4} n^2 +n^3+3n^2+3n+1 = \\ \frac{1}{4}n^4+\frac{3}{2}n^3 + \frac{13}{4}n^2 +3n+1\)
Bei dem * wurde die Induktionsvoraussetzung genutzt.
Dann rechts:
\( \frac{1}{4} \cdot (n+1)^2 \cdot (n+1+1)^2 = \\ \frac{1}{4} \cdot (n^2+2n+1)(n^2+4n+4) = \\ \frac{1}{4} \cdot (n^4+4n^3+4n^2+2n^3+8n^2+8n+n^2+4n+4) = \\ \frac{1}{4} \cdot (n^4 + 6n^3 +13n^2+12n+4) = \\ \frac{1}{4} n^4 + \frac{3}{2} n^3 + \frac{13}{4}n^2 + 3n+1\)
Wir sehen: Die vollständig aufgelösten Terme stimmen überein. Daher auch die unaufgelösten. Somit sind wir fertig.
+3976 Oft ist's bei Induktionen ja so, dass du aus dem ersten Term (linke Seite) direkt umformst in den Ziel-Term (rechte Seite) - das wäre hier auch gegangen. Dafür hätte man aber aus dem vollständig aufgelösten Term der linken Seite zunächst 1/4 ausklammern müssen und dann per Polynomdivision eine vollständige Linearfaktorzerlegung erstellen müssen. Das ist halt wesentlich aufwändiger als das, was ich gemacht habe, korrekt ist es aber natürlich trotzdem.
