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Zeigen Sie, dass das lineare Gleichungssystem

a11x1 + a12x2 = b1 

a21x1 + a22x2 = b2 mit aij , bi ∈ R

genau dann eindeutig lösbar ist, wenn a11a22 − a12a21 != 0.

Geben Sie in diesem Fall die L¨osung des Gleichungssystem an.

 

Hallo könnte mir jemand diese Aufgabe lösen Das wäre sehr nett.

(Das != bedeutet ungleich ich habe aber leider das Ungleichzeichen nicht gefunden)

 02.12.2021
 #1
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Das kann man auf verschiedene Arten machen. Je nach Vorkenntnissen geht's entweder mit roher Gewalt oder etwas eleganter. 

Man könnte beispielsweise das Gleichungssystem in Matrixform schreiben: Packt man alle a's in eine Matrix A, bildet einen Spaltenvektor x=(x1, x2)T und einen anderen Spaltenvektor b=(b1, b2)T, so ist dein Gleichungssystem äquivalent zu:

 

Ax=b

 

Dieses System ist genau dann eindeutig lösbar, wenn A eine invertierbare Matrix ist. Das wiederum ist genau dann der Fall, wenn det(A) != 0 ist. Und det(A)=a11a22-a12a21 für eine 2x2-Matrix.

Die eindeutige Lösung ist dann x=A-1b.

 02.12.2021

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