x^5+3x^4+8:3x^3-x-1:3 Funktion fünften Grades Nullstellen errechnen

f(x)=x^5+3x^4+(8:3)x^3-x-1:3   Nullstellen errechnen

Hallo Gast!

$x^5+3x^4+(8/3)x^3-x-1/3=0$

Erste vermutete Nullstelle:   x₁= - 1

 $(x^5+3x^4+(8/3)x^3-x-1/3): (x+1)$

                                                   $=x^4+2x^3+(2/3)x^2-(2/3)x-1/3$   

  $\underline{x^5\ +\ x^4}$                         

             $2x^4+(8/3)x^3$ 

             $\underline{2x^4+\ 2\ x^3}$

                         $(2/3)x^3-x$

                         $\underline{(2/3)x^3+(2/3)x^2}$

                                          $-(2/3)x^2-x$

                                          $\underline{-(2/3)x^2-(2/3)x}$

                                                                 $-(1/3)x-1/3$

                                                                 $\underline{-(1/3)x-1/3}$

                                                                                           $0$

$x_1=-1$

Die weiteren Nullstellen errechnen sich aus der Gleichung                                                                          

$x^4+2x^3+(2/3)x^2-(2/3)x-1/3=0$

2. vermutete Nullstelle:   x₂ = - 1

$(x^4+2x^3+(2/3)x^2-(2/3)x-1/3) : (x+1)$

                                             $=x^3+x^2-(1/3)x-1/3$

 $\underline{x^4+x^3}$

          $x^3\ +\ (2/3)x^2$

          $\underline{x^3\ +\ x^2}$

                 $-(1/3)x^2-(2/3)x$

                 $\underline{-(1/3)x^2-(1/3)x}$

                                     $-(1/3)x-1/3$

                                     $\underline{-(1/3)x-1/3}$

                                                               0

$x_2 = -1$ 

3. vermutete Nullstelle:   x₃ = - 1

$(x^3+x^2-(1/3)x-1/3):(x+1)$ $=x^2-1/3$ 

 $\underline{x^3+x^2}$

            $0\ -\ (1/3)x-1/3$

                  $\underline{-(1/3)x-1/3}$

                                            0

$x_3=-1$ 

Nullstellen 4 und 5

$x^2-\frac{1}{3}=0$

$x=\pm\sqrt{\frac{1}{3}}$

$x_4=-\sqrt{\frac{1}{3}}=-0,5773502691896257\\ x_5=+\sqrt{\frac{1}{3}}=0,5773502691896257$

Eine Nullstelle, errechnet mit

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme2.htm

$x_5= 0,5773502691896257$

Nullstellen der Funktion  $x^5+3x^4+(8/3)x^3-x-1/3=0$ 

$x^5+3x^4+(8/3)x^3-x-1/3\\ \color{blue}=(x+1)^3\cdot (x+\sqrt{\frac{1}{3}})\cdot (x-\sqrt{\frac{1}{3}}) =0$

$\large \mathbb{L}=\{-1;-1;-1;-\sqrt{\frac{1}{3}};\sqrt{\frac{1}{3}}\}$

8.12.

Guten Morgen,

heureka hatte bereits ganze Arbeit geleistet.

Danke heureka!

  !

x^5+3x^4+8:3x^3-x-1:3 Funktion fünften Grades Nullstellen errechnen

Brüche entfernen:

$\begin{array}{|rcll|} \hline x^5+3x^4+\frac{8}{3}x^3-x-\frac{1}{3} &=& 0 \quad | \quad \cdot 3\\ \mathbf{3x^5+9x^4+8x^3-3x-1} &=& \mathbf{0} \\ \hline \end{array}$

Vermutete Lösung: $x_0 =\pm1$

$\begin{array}{rcrrcl} x_0 &=& 1: & 3+9+8-3-1 &\ne& 0 \\ x_0 &=& -1: & -3+9-8+3-1 &=& 0 ~ \checkmark \\ \end{array}$

1. Lösung: $x_0=-1$

weitere Lösungen:

$\begin{array}{rcll} (3x^5+9x^4+8x^3-3x-1):(x-x_0) \quad | \quad x_0=-1 \\ \end{array}$

$x^5+3x^4+\frac{8}{3}x^3-x-\frac{1}{3} = \frac13\cdot(x+1)(3x^4+6x^3+2x^2-2x-1)$

$\begin{array}{|rcll|} \hline \mathbf{3x^4+6x^3+2x^2-2x-1} &=& \mathbf{0} \\ \hline \end{array}$

Vermutete Lösung: $x_0 =\pm1$

$\begin{array}{rcrrcl} x_0 &=& 1: & 1+6+2-2-1 &\ne& 0 \\ x_0 &=& -1: & 3-6+2+2-1 &=& 0 ~ \checkmark \\ \end{array}$

2. Lösung: $x_0=-1$

weitere Lösungen:
$\begin{array}{rcll} (3x^4+6x^3+2x^2-2x-1):(x-x_0) \quad | \quad x_0=-1 \\ \end{array}$

$x^5+3x^4+\frac{8}{3}x^3-x-\frac{1}{3} = \frac13\cdot(x+1)\cdot(x+1)(3x^3+3x^2-x-1)$

$\begin{array}{|rcll|} \hline \mathbf{3x^3+3x^2-x-1} &=& \mathbf{0} \\ \hline \end{array}$

Vermutete Lösung: $x_0 =\pm1$

$\begin{array}{rcrrcl} x_0 &=& 1: & 3+3-1-1 &\ne& 0 \\ x_0 &=& -1: & -3+3+1-1 &=& 0 ~ \checkmark \\ \end{array}$

3. Lösung: $x_0=-1$

weitere Lösungen:

$\begin{array}{rcll} (3x^3+3x^2-x-1):(x-x_0) \quad | \quad x_0=-1 \\ \end{array}$

$x^5+3x^4+\frac{8}{3}x^3-x-\frac{1}{3} = \frac13\cdot(x+1)\cdot(x+1)\cdot(x+1)(3x^2-1)$

$\begin{array}{|rcll|} \hline \mathbf{3x^2-1} &=& \mathbf{0} \\ 3x^2 &=& 1 \\ x^2 &=& \frac13 \\ x &=& \pm \sqrt{\frac13} \\ \hline \end{array}$

4. Lösung: $x_0= \sqrt{\frac13}$
5. Lösung: $x_0=- \sqrt{\frac13}$

Die 5 Lösungen lauten:

$x_1 = -1 \qquad x_2 = -1 \qquad x_3 = -1 \qquad x_4 = \sqrt{\frac13} \qquad x_5 = -\sqrt{\frac13}$

$x^5+3x^4+\frac{8}{3}x^3-x-\frac{1}{3} = (x+1)^3(x-\sqrt{\frac13})(x+\sqrt{\frac13})$