+15000 f(x)=x^5+3x^4+(8:3)x^3-x-1:3 Nullstellen errechnen
Hallo Gast!
\(x^5+3x^4+(8/3)x^3-x-1/3=0\)
Erste vermutete Nullstelle: x1= - 1
\((x^5+3x^4+(8/3)x^3-x-1/3): (x+1)\)
\(=x^4+2x^3+(2/3)x^2-(2/3)x-1/3\)
\(\underline{x^5\ +\ x^4}\)
\(2x^4+(8/3)x^3\)
\(\underline{2x^4+\ 2\ x^3}\)
\((2/3)x^3-x\)
\(\underline{(2/3)x^3+(2/3)x^2}\)
\(-(2/3)x^2-x \)
\(\underline{-(2/3)x^2-(2/3)x}\)
\(-(1/3)x-1/3\)
\(\underline{-(1/3)x-1/3}\)
\(0\)
\(x_1=-1\)
Die weiteren Nullstellen errechnen sich aus der Gleichung
\(x^4+2x^3+(2/3)x^2-(2/3)x-1/3=0\)
2. vermutete Nullstelle: x2 = - 1
\((x^4+2x^3+(2/3)x^2-(2/3)x-1/3) : (x+1)\)
\(=x^3+x^2-(1/3)x-1/3\)
\(\underline{x^4+x^3}\)
\(x^3\ +\ (2/3)x^2\)
\(\underline{x^3\ +\ x^2}\)
\(-(1/3)x^2-(2/3)x\)
\(\underline{-(1/3)x^2-(1/3)x}\)
\(-(1/3)x-1/3\)
\(\underline{-(1/3)x-1/3}\)
0
\(x_2 = -1\)
3. vermutete Nullstelle: x3 = - 1
\((x^3+x^2-(1/3)x-1/3):(x+1)\) \(=x^2-1/3\)
\(\underline{x^3+x^2}\)
\(0\ -\ (1/3)x-1/3\)
\(\underline{-(1/3)x-1/3}\)
0
\(x_3=-1\)
Nullstellen 4 und 5
\(x^2-\frac{1}{3}=0\)
\(x=\pm\sqrt{\frac{1}{3}}\)
\(x_4=-\sqrt{\frac{1}{3}}=-0,5773502691896257\\ x_5=+\sqrt{\frac{1}{3}}=0,5773502691896257\)
Eine Nullstelle, errechnet mit
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme2.htm
\(x_5= 0,5773502691896257\)
Nullstellen der Funktion \(x^5+3x^4+(8/3)x^3-x-1/3=0\)
\(x^5+3x^4+(8/3)x^3-x-1/3\\ \color{blue}=(x+1)^3\cdot (x+\sqrt{\frac{1}{3}})\cdot (x-\sqrt{\frac{1}{3}}) =0\)
\(\large \mathbb{L}=\{-1;-1;-1;-\sqrt{\frac{1}{3}};\sqrt{\frac{1}{3}}\}\)
8.12.
Guten Morgen,
heureka hatte bereits ganze Arbeit geleistet.
Danke heureka!
!
+26394 x^5+3x^4+8:3x^3-x-1:3 Funktion fünften Grades Nullstellen errechnen
Brüche entfernen:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline x^5+3x^4+\frac{8}{3}x^3-x-\frac{1}{3} &=& 0 \quad | \quad \cdot 3\\ \mathbf{3x^5+9x^4+8x^3-3x-1} &=& \mathbf{0} \\ \hline \end{array}\)
Vermutete Lösung: \(x_0 =\pm1\)
\(\begin{array}{rcrrcl} x_0 &=& 1: & 3+9+8-3-1 &\ne& 0 \\ x_0 &=& -1: & -3+9-8+3-1 &=& 0 ~ \checkmark \\ \end{array}\)
1. Lösung: \(x_0=-1\)
weitere Lösungen:
\(\begin{array}{rcll} (3x^5+9x^4+8x^3-3x-1):(x-x_0) \quad | \quad x_0=-1 \\ \end{array}\)
\(x^5+3x^4+\frac{8}{3}x^3-x-\frac{1}{3} = \frac13\cdot(x+1)(3x^4+6x^3+2x^2-2x-1) \)
\(\begin{array}{|rcll|} \hline \mathbf{3x^4+6x^3+2x^2-2x-1} &=& \mathbf{0} \\ \hline \end{array}\)
Vermutete Lösung: \( x_0 =\pm1\)
\(\begin{array}{rcrrcl} x_0 &=& 1: & 1+6+2-2-1 &\ne& 0 \\ x_0 &=& -1: & 3-6+2+2-1 &=& 0 ~ \checkmark \\ \end{array}\)
2. Lösung: \(x_0=-1\)
weitere Lösungen:
\(\begin{array}{rcll} (3x^4+6x^3+2x^2-2x-1):(x-x_0) \quad | \quad x_0=-1 \\ \end{array}\)
\(x^5+3x^4+\frac{8}{3}x^3-x-\frac{1}{3} = \frac13\cdot(x+1)\cdot(x+1)(3x^3+3x^2-x-1) \)
\(\begin{array}{|rcll|} \hline \mathbf{3x^3+3x^2-x-1} &=& \mathbf{0} \\ \hline \end{array}\)
Vermutete Lösung: \(x_0 =\pm1\)
\(\begin{array}{rcrrcl} x_0 &=& 1: & 3+3-1-1 &\ne& 0 \\ x_0 &=& -1: & -3+3+1-1 &=& 0 ~ \checkmark \\ \end{array}\)
3. Lösung: \(x_0=-1\)
weitere Lösungen:
\(\begin{array}{rcll} (3x^3+3x^2-x-1):(x-x_0) \quad | \quad x_0=-1 \\ \end{array}\)
\(x^5+3x^4+\frac{8}{3}x^3-x-\frac{1}{3} = \frac13\cdot(x+1)\cdot(x+1)\cdot(x+1)(3x^2-1) \)
\(\begin{array}{|rcll|} \hline \mathbf{3x^2-1} &=& \mathbf{0} \\ 3x^2 &=& 1 \\ x^2 &=& \frac13 \\ x &=& \pm \sqrt{\frac13} \\ \hline \end{array} \)
4. Lösung: \(x_0= \sqrt{\frac13}\)
5. Lösung: \(x_0=- \sqrt{\frac13}\)
Die 5 Lösungen lauten:
\(x_1 = -1 \qquad x_2 = -1 \qquad x_3 = -1 \qquad x_4 = \sqrt{\frac13} \qquad x_5 = -\sqrt{\frac13} \)
\(x^5+3x^4+\frac{8}{3}x^3-x-\frac{1}{3} = (x+1)^3(x-\sqrt{\frac13})(x+\sqrt{\frac13}) \)
