x/2+y/3+z/5=71 x/3+y/5+z/2=57 x/5+y/2+z/3=58

Ich habe den Versuch gewagt und bin auch ohne Rechner anschaulich und übersichtlich zum Ergebnis gekommen.

So musste man rechnen, als es noch keine Rechner gab.

Hallo Anonymous,

ich habe deine 3 Gleichungen als  diophantische Gleichungen aufgefasst und sie dann auch einzeln gelöst.

http://de.wikipedia.org/wiki/Diophantische_Gleichung

1.)   $${\frac{{\mathtt{x}}}{{\mathtt{2}}}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\frac{{\mathtt{y}}}{{\mathtt{3}}}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\frac{{\mathtt{z}}}{{\mathtt{5}}}} = {\mathtt{71}}$$        =>     x = 136   ;     y = 3    ;      z = 10

2.)   $${\frac{{\mathtt{x}}}{{\mathtt{3}}}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\frac{{\mathtt{y}}}{{\mathtt{5}}}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\frac{{\mathtt{z}}}{{\mathtt{2}}}} = {\mathtt{57}}$$       =>      x = 162    ;    y = 5    ;      z = 4

3.)   $${\frac{{\mathtt{x}}}{{\mathtt{5}}}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\frac{{\mathtt{y}}}{{\mathtt{2}}}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\frac{{\mathtt{z}}}{{\mathtt{3}}}} = {\mathtt{58}}$$        =>     x = 275    ;    y = 2    ;      z = 6

Gruß radix !

Hallo Anonymous,

wenn es sich bei deiner Frage um ein Gleichungssystem  mit drei Gleichungen und den 3 Variablen x , y und z handelt, sieht die Lösung so aus:

Gruß radix !

Lösung mit Hilfe des Gauß-Verfahrens:

Gruß radix !

Hallo anonymous, hallo radix!

Ich kann es nicht lassen und muss meinen Senf auch noch dazu geben. Fantastisch, wie der 2.0Rechner die Aufgabe löst! Leider war mir auch der kluge Diophantos mathematisch bis dato nicht begegnet. Gauß sieht sehr kompliziert aus. Also versuche ich es zu Fuß mit Methode 7. Klasse Grundschule.

x/2+y/3+z/5=71                  KGV 30 

15x + 10y + 6z = 2130         /15

x = 142 - 2y/3 - 2z/5     

x/3+y/5+z/2=57                KGV 30

10x + 6y + 15z = 1710       /10

x = 171 - 0,6y - 1,5z

x/5+y/2+z/3=58                 KGV 30

6x + 15y + 10z = 1740       /6

x = 290 - 5y/2 - 5z/3

Ich muss nun mit Gleichsetzungs-, Additions- oder Substitutionsmethode die Variablen eliminieren und gebe auf.

Den Versuch war es trotzdem wert.

Weiter ! ! 

290 - 5y/2 - 5z/3 = 142 - 2y/3 - 2z/5

2y/3 - 5y/2 + 2z/5 - 5z/3 = 142 -290             KGV 30

20y - 75y + 12z - 50z = - 4440

- 55y - 38z = - 4440

z = (4440 -55y) / 38

290 - 5y/2 - 5z/3 = 171 - 0,6y - 1,5z

- 5y/2 +0,6y -5z/3 + 1,5z = 171 - 290             KGV 6

-15y + 3,6y - 10z + 9z = - 714

-11,4y - z = - 714

z = 714 -11,4y

714 - 11,4y = (4440 -55y) / 38

27132 - 433,2y = 4440 -55y

378,2y = 22692

y = 60

z = 714 - 11,4y = 714 - 11,4 * 60

z = 30

x = 171 - 0,6y - 1,5z

x = 171 - 0,6 * 60 - 1,5 * 30

x = 90

8.6.  13h

Jetzt habe ich es doch noch durchgezogen.

Ganz ohne Taschenrechner ging es aber nicht. 

Gruß  :- )

Letzte Antwort-super!!!

Liebe  radix, asinus und Omi67 vielen Dank für die ausfürlichen Lösungen, ihr seid super!  Anonymous

$$\small{\text{$
\begin{array}{lrcl}
(1):& \frac12 x+ \frac13 y+ \frac15 z &=& 71 \qquad | \qquad \cdot 30 \\\\
(2):& \frac13 x+ \frac15 y+ \frac12 z &=& 57 \qquad | \qquad \cdot 30 \\\\
(3):& \frac15 x+ \frac12 y+ \frac13 z &=& 58 \qquad | \qquad \cdot 30 \\\\
\hline
&\\
(1):& 15x+ 10y+ 6z &=& 71\cdot 30 = 2130\\\\
(2):& 10x+ 6y+ 15z &=& 57\cdot 30 = 1710\\\\
(3):& 6x+ 15y+ 10z &=& 58\cdot 30 = 1740 \\\\
\hline
&\\
\rm{Determinante~~} D= \begin{vmatrix}
15 & 10 & 6 \\
10 & 6 & 15 \\
6 & 15 & 10
\end{vmatrix} = -1891
&\\
x = \frac{ \begin{vmatrix}
2130 & 10 & 6 \\
1710 & 6 & 15 \\
1740 & 15 & 10
\end{vmatrix} }{D}
= \dfrac{-170190}{-1891}=90 \\
&\\
y = \frac{ \begin{vmatrix}
15 & 2130 & 6 \\
10 & 1710 & 15 \\
6 & 1740 & 10
\end{vmatrix} }{D}
= \dfrac{-113460}{-1891}=60 \\
&\\
z = \frac{ \begin{vmatrix}
15 & 10 & 2130 \\
10 & 6 & 1710 \\
6 & 15 & 1740
\end{vmatrix} }{D}
= \dfrac{-56730}{-1891}=30 \\
\end{array}
$}}$$

heureka, Interessante Lösung! Danke