Wurzelgleichungen

Ich weiß leider nicht, wie man hier das Wurzelzeichen einfügt...

Hallo mathenoob!

Ein Formeleditor zu LaTeX, als kleine Hilfe zum Schreiben von Zeichen in der Mathematik:

https://www.matheboard.de/formeleditor.php

Grüße

  !

Quadratische Ergänzung bei meiner Lösung wäre der korrekte Weg, ja. 

Wenn das "+6" auch unter der Wurzel steht, wir also beginnen mit \(x - \sqrt{x+6} = 0\), dann stimmt dein Weg auch komplett. (War für mich unklar, weil bei deinem ersten Rechenschritt nur "+wurzel aus x" steht, nicht "+wurzel aus x+6".)

Du musst nun eigentlich nur noch alles nach links bringen und wieder quadratisch ergänzen:

x² = x+6  |-x-6

x² -x -6 = 0   |+6,25

x² -x +0,25 = 6,25

...

Den Rest schaffst du bestimmt, wenn nicht frag' nochmal nach.

Danke schon mal für den Tipp  Aber irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch. Die 6,25 hast du doch ergänzt, oder? Das auf der linken Seite sieht nach der zweiten binomischen Formel aus, aber das -x passt dann ja nicht. Wenn es die zweite binomische Formel wäre, müsste es wie folgt aussehen : (x-0,5)²= x2-1x+0,25

Obwohl, das ist ja die 2. binomische Formel  also würde es dann wahrscheinlich so aussehen

(x-0,5)²= 6,25 | Wurzel ziehen

x-0,5=2,5 |+0,5

x=3

Ist das richtig?

Ja, das passt!

Aber wie beim letzten Mal auch, musst du beim Wurzelziehen aus einer Gleichung zwei machen, wegen + & - :

(x-0,5)² = 6,25   |Wurzel

x-0,5 = 2,5      &      x-0,5 = -2,5     |+0,5 bei beiden Gleichungen

x₁ = 3     &       x₂ = -2

Stimmt, das habe ich vergessen. Ist die Lösung denn auch wirklich richtig? Ich habe mitbekommen, dass es bei Wurzelgleichungen nur eine Lösung geben darf und wenn man etwas hoch 2 nimmt, gibt es ja zwei Lösungen. Gilt das für alle Wurzelgleichungen oder ist es nur manchmal so?

Ah, ja, super Einwand! Bei Wurzelgleichungen muss man da tatsächlich aufpassen, ob beide Lösungen Sinn machen. Das kannst du am einfachsten prüfen, indem du deine Lösungen in die Gleichung einsetzt und prüfst, ob alles passt. Eine Lösung passt nicht, wenn sie dazu führt, dass du die Wurzel einer negativen Zahl ziehen müsstest. 

Hier passen aber beide Lösungen - überzeug' dich gern selbst davon, indem du beide Lösungen einsetzt und prüfst, ob's klappt.

Danke!

Würdest du da eher das Einsetzen der Lösungen empfehlen oder den Satz von Vieta? Kleine Frage nebenbei: Ist der Satz von Vieta nur dafür da, um zu schauen, ob die Lösung richtig ist oder lassen sich einfache quadratische Gleichungen damit wirklich im Kopf lösen? 

Und zurück zum Thema: Also kann eine Wurzelgleichung nur eine Lösung haben, muss aber nicht?

Von negativen Zahlen kann man keine Wurzeln ziehen, oder? Wie sieht es aus, wenn eine 0 in der Wurzel ist? 

Das Einsetzen der Lösungen macht mehr Sinn - es funktioniert auch dann, wenn die Lösungen "unangenehme" Zahlen sind, und lässt sich mit einem Taschenrechner auch sehr schnell durchführen. 

Der Satz von Vieta ist tatsächlich eigentlich nur dafür da, einfache quadratische Gleichungen im Kopf zu lösen. Man kann damit wohl auch, wenn die Zahlen angenehm (zB ganze Zahlen) sind, prüfen, ob die Lösung stimmt, aber gerade bei Wurzelgleichungen hilft dieser Satz da gar nicht: Der Satz von Vieta gilt ja nur für quadratische Gleichungen, und da du die Lösungen aus einer quadratischen Gleichung bekommst, wird Vieta zu jeder Lösung "Ja" sagen - nur in der ursprünglichen Gleichung mit Wurzeln drin sieht man, ob was schiefgeht.

Dein Zurück-Zum-Thema-Vorschlag stimmt - Eine Wurzelgleichung kann (wie eine quadratische Gleichung auch) keine, eine oder mehrere Lösungen haben. Wir können uns dafür sogar ein paar ganz einfache Gleichungen anschauen:

\(x-\sqrt x =0\) hat die Lösungen x₁ = 0 und x₂ = 1

\(\sqrt x =0\) hat nur die Lösung x=0

\(\sqrt x = -1\) hat gar keine Lösung.

Das beantwortet evtl. auch schon deine letzte Frage - von negativen Zahlen gibt es keine (reellen) Wurzeln, die Wurzel von 0 kann man aber durchaus bilden - sie ist 0, denn 0²=0.

Wow, vielen Dank für die detaillierte Antwort 

Beim letzten Schritt der Wurzelgleichung, also bei 

\((x -0,5)^2=6,25\)  da zieht man ja die Wurzel und übrig bleibt

x-0,5 = +-2,5

Wäre die richtige Schreibweise auf dem Zettel dann dieses +- Vorzeichen vor der 2,5? Wo das Plus oben steht und das Minus darunter, also wie bei der p-q-Formel vor dem Wurzelzeichen. Da steht ja auch ein +-

Gern, freut mich wenn's hilft! :)

Das mit dem Plusminus-Zeichen kannst du wahrscheinlich machen, ich persönlich find's übersichtlicher & klarer, wenn man's wirklich auf zwei Gleichungen aufteilt. So vermeidet man auch Leichtsinnsfehler. Bei mir sieht's immer etwa so aus (mit der Maus in Paint geschrieben, daher etwas krakelig :D ) :