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Hallo liebe Gemeinde,

Leider habe ich Probleme beim folgenden Beweis.

Von links nach rechts ist ja einfach. (sqrt(p1^2) = p1)

Von rechts nach links nutze ich die Kontraposition, aber wie kann ich den Beweis durchführen?

Für Input bin ich dankbar.

\(\sqrt{p_{1}p_{2}} \in \mathbb{Q} \Leftrightarrow p_{1}=p_{2} \)

 04.10.2021
 #1
avatar+2962 
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Ich nehm' mal an p1 und p2 sind prim? Muss wohl sowieso der Fall sein, ansonsten wäre p1=2 und p2=8 ein Gegenbeispiel.

Dann nehmen wir mal an, \(\sqrt{p_1p_2}\) wäre eine rationale Zahl. Dann gäbe es eine ganze Zahl z und eine natürliche Zahl n, sodass ggT(z, n)=1 und \(\sqrt{p_1p_2} = \frac{z}{n}\). Nach quadrieren folgt \(n^2 p_1 p_2 = z^2\), wir sehen also, dass n2 ein Teiler von z2 ist. Dann ist aber auch n ein Teiler von z und daher (wegen ggT(z, n)=1) muss n=1 sein. Somit ist p1p2 = z2. In z2 kommt aber jeder Primfaktor in gerader Potenz vor - also muss schließlich p1=p2 sein.

 04.10.2021
 #2
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Ja, mit den Primzahlen lagst du richtig, hatte ich vergessen zu definieren.
Könntest du den letzten Satz vielleicht nochmal erläutern? Wieso kommt in z jeder Primfaktor in gerader Potenz vor?

Gast 04.10.2021
 #3
avatar+2962 
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In z nicht unbedingt, aber in z2. Nachdem wir aber rausgefunden hatten, dass p1p2=z2 ist, ist ja p1p2 genau die Primfaktorzerlegung von z2 und deswegen müssen p1 und p2 gleich sein.

 

Falls nicht klar ist, wieso in z2 nur gerade Potenzen vorkommen können: Sei die Primfaktorzerlegung von \(z=a \cdot q_1^{n_1} \cdot \dots \cdot q_x^{n_x}\) (wobei a entweder 1 ist und wegfällt oder a=-1 ist - z war ja eine ganze Zahl - die q's alle prim, die n's natürliche Zahlen). Dann ist \(z^2 = q_1^{2n_1} \cdot \dots \cdot q_x^{2n_x}\) - und 2n1, 2n2, ... , 2nx sind alle gerade.

Probolobo  04.10.2021
 #4
avatar+2962 
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...oder kurz&knapp: Wir brauchen nur, dass in der Primfaktorzerlegung von z2 jeder Faktor in gerader Potenz vorkommt, und das ist der Fall, weil durch das Quadrieren von z jeder Exponent der Primfaktorzerlegung von z verdoppelt wird - folglich sind alle gerade.

Probolobo  04.10.2021

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