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Wir betrachten die drei Vektoren

 

\( v_{1}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right), \quad v_{2}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -1 \\ 4\end{array}\right), \quad v_{3}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{4} \)

 

(i)  Zeigen Sie, dass v1, v2, v3 ∈ R4 linear unabhängig ist.

(ii)  Ergänzen Sie (v1, v2, v3) zu einer Basis des R^4.

(iii)  Schreiben Sie die Standardbasisvektoren e1,...,e4 ∈ R^4 als Linearkombinationen Ihrer Basis aus dem vorherigen Aufgabenteil.

 21.12.2020
 #1
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(i) Für lineare Unabhängigkeit eignet sich folgender Standardansatz: x,y,z sind reelle Variablen. Dann betrachten wir folgendes Gleichungssystem:

 

xv1+yv2+zv3=0 (Nullvektor)

 

Aus der dritten Zeile folgt y=z.

Mit der letzten folgt aber auch 4y+z=0, also 5z=0, also y=z=0. dann folgt mit der ersten Zeile auch x=0, die Vektoren sind also linear unabhängig.

 

(ii) Sei v4=e1. Dann ist (v1, v2, v3, v4) eine Basis des R^4.

(iii) Es ist

e1=0v1+0v2+0v3+1v4.

e2=1v1+0v2+0v3-1v4.

e3=0,4v1-0,2v2+0,8v3+-1v4

e4=-0,4v1+0,2v2+0,2v3+0v4

 21.12.2020

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