Wie werden diese Aufgaben berechnet mittels 2. Ableitung?

Gegeben ist die Ableitung f' der Funktion f. Bestimmen Sie die x-Koordinaten aller Punkte, in denen der Graph von f eine waagerechte Tangente besitzt. Liegt ein Hoch-, Tief-, oder Sattelpunkt vor?

a) f'(x) = 3x + 2

b) f'(x) x2 + x - 6

a)

$f\ '(x)=3x+2$

$f(x)=1.5x^2+2x+C$

Extrema: Nullstellen der 1. Ableitung

$3x+2=0\\x=-\frac{2}{3}\\ f(x)=1,5\cdot (-\frac{2}{3})^2+2\cdot (-\frac{2}{3})$

$f(x)=-\frac{2}{3}$

$P_{min}(-\frac{2}{3}\ ; -\frac{2}{3})$

b)

$f\ '(x)=x^2+x-6$

$f(x)=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-6x+C$

Extrema:

$x^2+x-6=0\\ x=-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+6}=-\frac{1}{2}\pm\frac{5}{2}$

$x_{max}=-3\\ f(-3)=y_{max}=-9+\frac{9}{2}+18=13,5\\ x_{min}=2\\ f(2)=y_{min}=\frac{8}{3}+2-12=-7\frac{1}{3}$

$P_{max}(-3\ ;13,5)\\P_{min}(2\ ;-7\frac{1}{3})$

Wendepunkt:

$f(x)=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-6x+C$

$f\ '(x)=x^2+x-6\\ f\ ''[x]=2x+1$

$2x+1=0\\x_W=- \frac{1}{2}\\f(-\frac{1}{2})=y_W=3,08\overline{33}$

$P_W(-\frac{1}{2}\ ;3,0833)$

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