Hallo,
kann mir bitte jemand anhand einer Rechnung zeigen, wie man diese Aufgaben löst?
Aufgabe: Gegeben ist die Ableitung f' der Funktion f. Bestimmen Sie die x-Koordinaten aller Punkte, in denen der Graph von f eine waagerechte Tangente besitzt. Liegt ein Hoch-, Tief-, oder Sattelpunkt vor?
a) f'(x) = 3x + 2
b) f'(x) x2 + x - 6
Gegeben ist die Ableitung f' der Funktion f. Bestimmen Sie die x-Koordinaten aller Punkte, in denen der Graph von f eine waagerechte Tangente besitzt. Liegt ein Hoch-, Tief-, oder Sattelpunkt vor?
a) f'(x) = 3x + 2
b) f'(x) x2 + x - 6
a)
\(f\ '(x)=3x+2\)
\(f(x)=1.5x^2+2x+C\)
Extrema: Nullstellen der 1. Ableitung
\(3x+2=0\\x=-\frac{2}{3}\\ f(x)=1,5\cdot (-\frac{2}{3})^2+2\cdot (-\frac{2}{3})\)
\(f(x)=-\frac{2}{3}\)
\(P_{min}(-\frac{2}{3}\ ; -\frac{2}{3})\)
b)
\(f\ '(x)=x^2+x-6\)
\(f(x)=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-6x+C\)
Extrema:
\(x^2+x-6=0\\ x=-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+6}=-\frac{1}{2}\pm\frac{5}{2}\)
\(x_{max}=-3\\ f(-3)=y_{max}=-9+\frac{9}{2}+18=13,5\\ x_{min}=2\\ f(2)=y_{min}=\frac{8}{3}+2-12=-7\frac{1}{3}\)
\(P_{max}(-3\ ;13,5)\\P_{min}(2\ ;-7\frac{1}{3})\)
Wendepunkt:
\(f(x)=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-6x+C\)
\(f\ '(x)=x^2+x-6\\ f\ ''[x]=2x+1\)
\(2x+1=0\\x_W=- \frac{1}{2}\\f(-\frac{1}{2})=y_W=3,08\overline{33}\)
\(P_W(-\frac{1}{2}\ ;3,0833)\)
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