Wie vereinfacht man den folgenden Term: (z^(k-1)-2z^(k)+z^(k+1))/(z^(k+1)-z^k)

Ich habe mir die Mühe gemacht und jeden kleinen Schritt aufgeschrieben.

Hallo anonymous!

(z^(k-1) - 2 * z^(k) + z^(k+1)) / (z^(k+1) - z^k)

= (z^k((z^-1) - 2 + z^(1))) / (z^k * (z-1))

Mit 2. und 3. Binom ? Ich versuche es etwas später, weiter zu kommen.

Aufgegeben. Dank an die Nachfolger!

Nein. Weiter! 25.1.15 15:20

= ((z^-1) - 2 + z) / (z - 1)

= (1/z - 2 + z) / (z - 1)

= (1/z) * (1 -2z + z²) / (z - 1)

= (z - 1)² / (z * (z - 1))

= (z - 1) / z

(z^(k-1) - 2z^(k) + z^(k+1)) / (z^(k+1) - z^k) = (z - 1) / z

Gruß asinus  :- )

Hallo Anonymous,

dies ist der Anfang ! Auf dem Papier habe ich so weit vereinfacht, dass ich zu dem Ergebnis  $${\frac{\left({\mathtt{z}}{\mathtt{\,-\,}}{\mathtt{1}}\right)}{{\mathtt{z}}}}$$  gekommen bin. Das ist viel Schreibarbeit. Vielleicht schaffst du das selber, wenn ich dir einige Tipps gebe.

Die Nenner können vereinfacht werden  =>  $${{\mathtt{z}}}^{{\mathtt{k}}}{\mathtt{\,\times\,}}\left({\mathtt{z}}{\mathtt{\,-\,}}{\mathtt{1}}\right)$$

1. Bruch  =>   $${\frac{{\frac{{\mathtt{1}}}{{\mathtt{z}}}}}{\left({\mathtt{z}}{\mathtt{\,-\,}}{\mathtt{1}}\right)}}$$         2. Bruch  =>   $${\mathtt{\,-\,}}{\frac{{\mathtt{2}}}{\left({\mathtt{z}}{\mathtt{\,-\,}}{\mathtt{1}}\right)}}$$       3. Bruch  =>   $${\frac{{\mathtt{z}}}{\left({\mathtt{z}}{\mathtt{\,-\,}}{\mathtt{1}}\right)}}$$

Zähler aller Brüche zusammengefasst  =>   $${\frac{{\mathtt{1}}}{{\mathtt{z}}}}{\mathtt{\,-\,}}{\mathtt{2}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\mathtt{z}}$$     => $${\frac{{\mathtt{1}}}{{\mathtt{z}}}}{\mathtt{\,-\,}}{\frac{{\mathtt{2}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{z}}}{{\mathtt{z}}}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\frac{{{\mathtt{z}}}^{{\mathtt{2}}}}{{\mathtt{z}}}}$$    =>  $${\frac{{\left({\mathtt{z}}{\mathtt{\,-\,}}{\mathtt{1}}\right)}^{{\mathtt{2}}}}{{\mathtt{z}}}}$$

Zähler durch Nenner =>  $${\frac{{\left({\mathtt{z}}{\mathtt{\,-\,}}{\mathtt{1}}\right)}^{{\mathtt{2}}}}{\left({\mathtt{z}}{\mathtt{\,\times\,}}\left({\mathtt{z}}{\mathtt{\,-\,}}{\mathtt{1}}\right)\right)}}$$    =>  $${\frac{\left({\mathtt{z}}{\mathtt{\,-\,}}{\mathtt{1}}\right)}{{\mathtt{z}}}}$$

Ich hoffe, dass du meine Schritte nachvollziehen kannst !

Gruß radix !   ( der sich über ein Danke sehr freuen würde !)

$$=\dfrac{z^{k-1}-2z^k+z^{k+1}}{z^{k+1}-z^k}
=\dfrac{z^k*z^{-1}-2z^k+z^k*z}{z^k*z-z^k}\\\\
=\dfrac{z^k(z^{-1}-2+z)}{z^k(z-1)}
=\dfrac{z-2+z^{-1}}{z-1}\\\\
=\dfrac{(z-1)-1+z^{-1}}{z-1}
=\dfrac{z-1}{z-1}-\dfrac{1-z^{-1}}{z-1}\\\\
=1-\dfrac{1-\frac{1}{z}}{z-1}
=1-\dfrac{z-1}{z*(z-1)}\\\\
=1-\dfrac{1}{z}$$