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wie oft muss man 1 halbieren um die zahl 0 raus zu bekommen

Guest 03.07.2017
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Selbst wenn du unendlich mal halbierst, würde sich das Ergebnis immer mehr der Null annähern aber niemals Null werden.

 

laugh

Omi67  03.07.2017
bearbeitet von Omi67  03.07.2017
 #2
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Naja, also das n-fache Halbieren der 1 lässt sich darstellen als \(\frac{1}{2^n}=\underbrace{\frac{1}{2}\cdot...\cdot\frac{1}{2}}_{n-mal}\cdot 1\)

und mit dem Begriff "unendlich" muss man ein wenig aufpassen, deshalb: Wir wissen, dass \(2^n\)beliebig groß wird, also wird der Kehrwert beliebig klein für beliebig großes n, aber immer größer als 0. 

 

Um es weiter zu treiben:

Mithilfe des Axioms von Archimedes weiß man, dass für jede reelle Zahl eine natürliche existiert, die größer ist. Nehmen wir also ein \(\varepsilon>0\Rightarrow ~es~existiert~ein~n~mit~n>\varepsilon\Rightarrow \frac{1}{n}<\varepsilon.\) Sei  eine natürliche Zahl N gegeben, die größer oder gleich n ist. Dann gilt für alle \(n\geq N: |\frac{1}{2^n}-0|=\frac{1}{2^n}\leq\frac{1}{2^N}<\frac{1}{N}<\varepsilon.\)Das heißt, dass für jede noch so kleine Zahl epsilon gilt, dass der Abstand von 1/2^n zu 0 beliebig klein wird. Damit ist die Argumentation vollständig und das Resultat ist das meines Vorredners. laugh

Gast 03.07.2017

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