Wie lautet die dritte Ableitung von f(x)=sin^2 x+1/2 cos x ?

Ich hoffe, ich interpretiere deine Angabe richtig. (Klammern würden helfen^^)

$f(x) = sin^2(x) +{1 \over 2} cos(x) = sin(x)^2 + {1 \over 2} cos(x) \\ \Rightarrow f'(x) = 2sin(x) \cdot cos(x) - {1 \over 2} sin(x) \ \ \ \ (1) \\ \Rightarrow f''(x) = -2sin(x)^2+2cos(x)^2 - {1 \over 2 } cos(x)$

in (1) habe ich die Kettenregel benutzt - zunächst wird die äußere Funktion abgeleitet: $sin^2(x) \rightarrow 2sin(x)$

Dann nachdifferenziert mit sin(x)' = cos(x).

In der letzten Zeile nutze ich die Produktregel. Zunächst lasse ich den Sinus stehen, cos abgeleitet ist -sin, der zweite Summand ist der Cosinus mal die Ableitung vom Sinus, also wieder cos. 

Wie lautet die dritte Ableitung von f(x)=sin^2 x+1/2 cos x ?

$f(x)=sin^2 x+ \frac{1}{2}cosx$

$f'(x)=2sinx\cdot cosx+\frac{1}{2}\cdot(-sinx)$   Kettenregel

$f'(x)=2uv+\frac{1}{2}\cdot(-sinx)$                Produktregel

$f''(x)=2\cdot(u'v-uv')+\frac{1}{2}\cdot\frac{d}{dx}(-sinx)$

$f''=2\cdot(cosx\cdot cosx-sinx\cdot(-sinx))-\frac{1}{2}\cdot cosx$

$f''=2\cdot(cos^2x+sin^2x)-\frac{1}{2}\cdot cosx$

$f'''=2\cdot (2\cdot cosx\cdot (-sinx)+2 \cdot sinx\cdot cosx )-\frac{1}{2}\cdot (-sinx)$

$f'''=4\cdot ( sinx\cdot cosx -sinx\cdot cosx)+\frac{1}{2}sinx$ 

$f'''=\frac{1}{2}sinx$

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@Asinus viele Nette Kommentare aber in diesen Fall viel zu kompliziert, Produktregel Streichen und einfach ausrechnen, dann ableiten ;)