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Wie löst man diese Aufgabe? Von 3 Zahlen a,b,c weiss man: ggt(a,b)=10, ggt (b,c)=15, kgv (a,b)=2160, und kgv (a,c)=1200. Berechne a,b,c.

 29.11.2015

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 #2
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Wie löst man diese Aufgabe? Von 3 Zahlen a,b,c weiss man: ggt(a,b)=10, ggt (b,c)=15, kgv (a,b)=2160, und kgv (a,c)=1200. Berechne a,b,c.

 

\(\small{ \boxed{~ \begin{array}{rcl} ggt (a,b)=10 &=& 2^1\cdot 3^0 \cdot 5^1 \\ \qquad \text{ die mimimalsten Exponenten von a und b werden überommen}\\ ggt (b,c)=15 &=& 2^0\cdot 3^1 \cdot 5^1 \\ \qquad \text{ die mimimalsten Exponenten von b und c werden überommen}\\ kgv (a,b)=2160 &=& 2^4\cdot 3^3 \cdot 5^1 \\ \qquad \text{ die maximalsten Exponenten von a und b werden überommen}\\ kgv (a,c)=1200 &=& 2^4\cdot 3^1 \cdot 5^2 \\ \qquad \text{ die maximalsten Exponenten von a und c werden überommen}\\ a\cdot b = ggt (a,b)\cdot kgv (a,b)= 10\cdot 2160 = 21600 &=& 2^5\cdot 3^3 \cdot 5^2 \\ \end{array} ~} }\)

 

\(\small{ \color{red} \boxed{~ \begin{array}{rcl} a &=& 2^{?}\cdot 3^{?}\cdot 5^{?} \\ b &=& 2^{?}\cdot 3^{?}\cdot 5^{?} \\ c &=& 2^{?}\cdot 3^{?}\cdot 5^{?} \\ \end{array} ~} }\)

 

\(\small{ \begin{array}{lrcl} \mathbf{ggt (a,b)=10 = 2^1\cdot \ \cdots } \text{ ist gerade. }\\ \mathbf{kgv (a,b)=2160 = 2^4\cdot \ \cdots } \text{ ist gerade: }\\ \text{Der mimimalste Exponent von a und b ist } 2^1. \\ \text{Der maximalste Exponent von a und b ist } 2^4. \\ \rightarrow a \text{ und } b \text{ müssen gerade sein mit einem Primfaktor von } 2^{4\text{ oder } 1} \end{array} }\)

\(\small{ \color{red} \boxed{~ \begin{array}{rcl} a &=& 2^{4\text{ oder } 1}\cdot 3^{?}\cdot 5^{?} \\ b &=& 2^{1\text{ oder } 4}\cdot 3^{?}\cdot 5^{?} \\ c &=& 2^{?}\cdot 3^{?}\cdot 5^{?} \\ \end{array} ~} }\)

 

\(\small{ \begin{array}{lrcl} \mathbf{ggt (b,c)=15 = 2^0\cdot 3^1 \cdot 5^1 } \text{ ist ungerade. }\\ \text{Da b gerade ist, muss c ungerade sein. c hat nur ungerade Primfaktoren. }\\ \text{Der Primfaktor 2 verschwindet mit }2^0 = 1. \quad 2^0 \text{ stammt von } c \\ \end{array} }\)

\(\small{ \color{red} \boxed{~ \begin{array}{rcl} a &=& 2^{4\text{ oder } 1}\cdot 3^{?}\cdot 5^{?} \\ b &=& 2^{1\text{ oder } 4}\cdot 3^{?}\cdot 5^{?} \\ c &=& 2^{0}\cdot 3^{?}\cdot 5^{?} \\ \end{array} ~} }\)

 

\(\small{ \begin{array}{lrcl} \mathbf{kgv (a,c)=1200 = 2^4\cdot 3^1 \cdot 5^2 } :\\ \text{Der maximale Exponent von a und c }~ 2^4 \text{ muss von a stammen, }\\ \text{da c ungerade ist und den Exponenten } 2^0 \text{ hat. }\\ \end{array} }\)

\(\small{ \color{red} \boxed{~ \begin{array}{rcl} a &=& 2^{4}\cdot 3^{?}\cdot 5^{?} \\ b &=& 2^{1}\cdot 3^{?}\cdot 5^{?} \\ c &=& 2^{0}\cdot 3^{?}\cdot 5^{?} \\ \end{array} ~} }\)

 

\(\small{ \begin{array}{lrcl} \mathbf{ggt (a,b)=10 = \cdots 5^1 } \\ \mathbf{kgv (a,b)=2160 = \cdots 5^1 }: \\ \text{Der mimimalste Exponent von a und b ist } 5^1. \\ \text{Der maximalste Exponent von a und b ist } 5^1. \\ \mathbf{a\cdot b = 21600 = 2^5\cdot 3^3 \cdot 5^2 } :\\ 5^1 \cdot 5^1 = 5^2 \\ \qquad 5^0 \cdot 5^2 = 5^2 \text{ und } 5^0 \cdot 5^2 = 5^2 \text{ kommen nicht in Frage,}\\ \text{da der mimimalste Exponent von a und b }~ 5^1 \text{ ist.}\\ \text{Sowohl a alsauch b müssen einen Primfaktor von } 5^1 \text{ haben. } \end{array} }\)

\(\small{ \color{red} \boxed{~ \begin{array}{rcl} a &=& 2^{4}\cdot 3^{?}\cdot 5^{1} \\ b &=& 2^{1}\cdot 3^{?}\cdot 5^{1} \\ c &=& 2^{0}\cdot 3^{?}\cdot 5^{?} \\ \end{array} ~} }\)

 

\(\small{ \begin{array}{lrcl} \mathbf{kgv (a,c)=1200 = 2^4\cdot 3^1 \cdot 5^2 } :\\ \text{Der maximale Exponent von a und c }~ 5^2 \text{ muss von c stammen, }\\ \text{da a den Exponenten } 5^1 \text{ hat. }\\ \end{array} }\)

\(\small{ \color{red} \boxed{~ \begin{array}{rcl} a &=& 2^{4}\cdot 3^{?}\cdot 5^{1} \\ b &=& 2^{1}\cdot 3^{?}\cdot 5^{1} \\ c &=& 2^{0}\cdot 3^{?}\cdot 5^{2} \\ \end{array} ~} }\)

 

\(\small{ \begin{array}{lrcl} \mathbf{ggt (a,b)=10 = \cdots \ \cdot 3^0\cdot \ \cdots } \\ \mathbf{kgv (a,b)=2160 = \cdots \ \cdot 3^3\cdot \ \cdots }:\\ \text{Der mimimalste Exponent von a und b ist } 3^0. \\ \text{Der maximalste Exponent von a und b ist } 3^3. \\ \rightarrow a \text{ und } b \text{ müssen einen Primfaktor von } 3^{0\text{ oder } 3} \text{ haben. } \end{array} }\)

\(\small{ \color{red} \boxed{~ \begin{array}{rcl} a &=& 2^{4}\cdot 3^{0\text{ oder } 3}\cdot 5^{1} \\ b &=& 2^{1}\cdot 3^{3\text{ oder } 0}\cdot 5^{1} \\ c &=& 2^{0}\cdot 3^{?}\cdot 5^{2} \\ \end{array} ~} }\)

 

\(\small{ \begin{array}{lrcl} \mathbf{kgv (a,c)=1200 = \cdots \ \cdot 3^1\cdot \ \cdots }: \\ \text{Da b nicht den Primfaktor } 3^1 \text{ haben kann,}\\ \text{muss der Primfaktor } 3^1 \text{ von c stammen }\\ \text{Der maximalste Exponent von a und c ist }~ 3^1 \\ \text{Also kann a nur den Primfaktor }~ 3^0 \text{ und nicht }~3^3\\ \text{haben, den muss dann b haben. } \end{array} }\)

\(\small{ \boxed{~ \begin{array}{rclcr} a &=& 2^{4}\cdot 3^{0}\cdot 5^{1} = 16 \cdot 5 &=& 80 \\ b &=& 2^{1}\cdot 3^{3}\cdot 5^{1} = 2 \cdot 27 \cdot 5 &=& 270 \\ c &=& 2^{0}\cdot 3^{1}\cdot 5^{2} = 3 \cdot 25 &=& 75\\ \end{array} ~} }\)

 

laugh

 30.11.2015
 #1
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Guten Morgen !

 

Diese Zahlen müssten stimmen:

 

\(a=80\)              \(b=270\)      \(c=75\)

 

Gruß radix smiley !

 30.11.2015
 #2
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Wie löst man diese Aufgabe? Von 3 Zahlen a,b,c weiss man: ggt(a,b)=10, ggt (b,c)=15, kgv (a,b)=2160, und kgv (a,c)=1200. Berechne a,b,c.

 

\(\small{ \boxed{~ \begin{array}{rcl} ggt (a,b)=10 &=& 2^1\cdot 3^0 \cdot 5^1 \\ \qquad \text{ die mimimalsten Exponenten von a und b werden überommen}\\ ggt (b,c)=15 &=& 2^0\cdot 3^1 \cdot 5^1 \\ \qquad \text{ die mimimalsten Exponenten von b und c werden überommen}\\ kgv (a,b)=2160 &=& 2^4\cdot 3^3 \cdot 5^1 \\ \qquad \text{ die maximalsten Exponenten von a und b werden überommen}\\ kgv (a,c)=1200 &=& 2^4\cdot 3^1 \cdot 5^2 \\ \qquad \text{ die maximalsten Exponenten von a und c werden überommen}\\ a\cdot b = ggt (a,b)\cdot kgv (a,b)= 10\cdot 2160 = 21600 &=& 2^5\cdot 3^3 \cdot 5^2 \\ \end{array} ~} }\)

 

\(\small{ \color{red} \boxed{~ \begin{array}{rcl} a &=& 2^{?}\cdot 3^{?}\cdot 5^{?} \\ b &=& 2^{?}\cdot 3^{?}\cdot 5^{?} \\ c &=& 2^{?}\cdot 3^{?}\cdot 5^{?} \\ \end{array} ~} }\)

 

\(\small{ \begin{array}{lrcl} \mathbf{ggt (a,b)=10 = 2^1\cdot \ \cdots } \text{ ist gerade. }\\ \mathbf{kgv (a,b)=2160 = 2^4\cdot \ \cdots } \text{ ist gerade: }\\ \text{Der mimimalste Exponent von a und b ist } 2^1. \\ \text{Der maximalste Exponent von a und b ist } 2^4. \\ \rightarrow a \text{ und } b \text{ müssen gerade sein mit einem Primfaktor von } 2^{4\text{ oder } 1} \end{array} }\)

\(\small{ \color{red} \boxed{~ \begin{array}{rcl} a &=& 2^{4\text{ oder } 1}\cdot 3^{?}\cdot 5^{?} \\ b &=& 2^{1\text{ oder } 4}\cdot 3^{?}\cdot 5^{?} \\ c &=& 2^{?}\cdot 3^{?}\cdot 5^{?} \\ \end{array} ~} }\)

 

\(\small{ \begin{array}{lrcl} \mathbf{ggt (b,c)=15 = 2^0\cdot 3^1 \cdot 5^1 } \text{ ist ungerade. }\\ \text{Da b gerade ist, muss c ungerade sein. c hat nur ungerade Primfaktoren. }\\ \text{Der Primfaktor 2 verschwindet mit }2^0 = 1. \quad 2^0 \text{ stammt von } c \\ \end{array} }\)

\(\small{ \color{red} \boxed{~ \begin{array}{rcl} a &=& 2^{4\text{ oder } 1}\cdot 3^{?}\cdot 5^{?} \\ b &=& 2^{1\text{ oder } 4}\cdot 3^{?}\cdot 5^{?} \\ c &=& 2^{0}\cdot 3^{?}\cdot 5^{?} \\ \end{array} ~} }\)

 

\(\small{ \begin{array}{lrcl} \mathbf{kgv (a,c)=1200 = 2^4\cdot 3^1 \cdot 5^2 } :\\ \text{Der maximale Exponent von a und c }~ 2^4 \text{ muss von a stammen, }\\ \text{da c ungerade ist und den Exponenten } 2^0 \text{ hat. }\\ \end{array} }\)

\(\small{ \color{red} \boxed{~ \begin{array}{rcl} a &=& 2^{4}\cdot 3^{?}\cdot 5^{?} \\ b &=& 2^{1}\cdot 3^{?}\cdot 5^{?} \\ c &=& 2^{0}\cdot 3^{?}\cdot 5^{?} \\ \end{array} ~} }\)

 

\(\small{ \begin{array}{lrcl} \mathbf{ggt (a,b)=10 = \cdots 5^1 } \\ \mathbf{kgv (a,b)=2160 = \cdots 5^1 }: \\ \text{Der mimimalste Exponent von a und b ist } 5^1. \\ \text{Der maximalste Exponent von a und b ist } 5^1. \\ \mathbf{a\cdot b = 21600 = 2^5\cdot 3^3 \cdot 5^2 } :\\ 5^1 \cdot 5^1 = 5^2 \\ \qquad 5^0 \cdot 5^2 = 5^2 \text{ und } 5^0 \cdot 5^2 = 5^2 \text{ kommen nicht in Frage,}\\ \text{da der mimimalste Exponent von a und b }~ 5^1 \text{ ist.}\\ \text{Sowohl a alsauch b müssen einen Primfaktor von } 5^1 \text{ haben. } \end{array} }\)

\(\small{ \color{red} \boxed{~ \begin{array}{rcl} a &=& 2^{4}\cdot 3^{?}\cdot 5^{1} \\ b &=& 2^{1}\cdot 3^{?}\cdot 5^{1} \\ c &=& 2^{0}\cdot 3^{?}\cdot 5^{?} \\ \end{array} ~} }\)

 

\(\small{ \begin{array}{lrcl} \mathbf{kgv (a,c)=1200 = 2^4\cdot 3^1 \cdot 5^2 } :\\ \text{Der maximale Exponent von a und c }~ 5^2 \text{ muss von c stammen, }\\ \text{da a den Exponenten } 5^1 \text{ hat. }\\ \end{array} }\)

\(\small{ \color{red} \boxed{~ \begin{array}{rcl} a &=& 2^{4}\cdot 3^{?}\cdot 5^{1} \\ b &=& 2^{1}\cdot 3^{?}\cdot 5^{1} \\ c &=& 2^{0}\cdot 3^{?}\cdot 5^{2} \\ \end{array} ~} }\)

 

\(\small{ \begin{array}{lrcl} \mathbf{ggt (a,b)=10 = \cdots \ \cdot 3^0\cdot \ \cdots } \\ \mathbf{kgv (a,b)=2160 = \cdots \ \cdot 3^3\cdot \ \cdots }:\\ \text{Der mimimalste Exponent von a und b ist } 3^0. \\ \text{Der maximalste Exponent von a und b ist } 3^3. \\ \rightarrow a \text{ und } b \text{ müssen einen Primfaktor von } 3^{0\text{ oder } 3} \text{ haben. } \end{array} }\)

\(\small{ \color{red} \boxed{~ \begin{array}{rcl} a &=& 2^{4}\cdot 3^{0\text{ oder } 3}\cdot 5^{1} \\ b &=& 2^{1}\cdot 3^{3\text{ oder } 0}\cdot 5^{1} \\ c &=& 2^{0}\cdot 3^{?}\cdot 5^{2} \\ \end{array} ~} }\)

 

\(\small{ \begin{array}{lrcl} \mathbf{kgv (a,c)=1200 = \cdots \ \cdot 3^1\cdot \ \cdots }: \\ \text{Da b nicht den Primfaktor } 3^1 \text{ haben kann,}\\ \text{muss der Primfaktor } 3^1 \text{ von c stammen }\\ \text{Der maximalste Exponent von a und c ist }~ 3^1 \\ \text{Also kann a nur den Primfaktor }~ 3^0 \text{ und nicht }~3^3\\ \text{haben, den muss dann b haben. } \end{array} }\)

\(\small{ \boxed{~ \begin{array}{rclcr} a &=& 2^{4}\cdot 3^{0}\cdot 5^{1} = 16 \cdot 5 &=& 80 \\ b &=& 2^{1}\cdot 3^{3}\cdot 5^{1} = 2 \cdot 27 \cdot 5 &=& 270 \\ c &=& 2^{0}\cdot 3^{1}\cdot 5^{2} = 3 \cdot 25 &=& 75\\ \end{array} ~} }\)

 

laugh

heureka 30.11.2015

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