Wie löse ich diese Induktion Bzw bekomme ich nicht den induktionsschritt hin

Wie löse ich diese Induktion bzw. wie bekomme ich den Induktionsschritt hin .

$\bf{\text{Zeigen Sie mit vollständiger Induktion:}} \\ \displaystyle \sum\limits_{k=1}^{2n} \dfrac{ (-1)^{k-1} } { k } =\sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{ 1 } { n+k }, \text{ für alle } n \in \mathbb{N}$

$\text{Induktionsanfang:} \\ \begin{array}{|lll|} \hline n=1 & \text{linke Seite:} & \sum\limits_{k=1}^{2} \dfrac{ (-1)^{k-1} } { k }\\ & &= \dfrac{(-1)^0}{1} +\dfrac{(-1)^1}{2} \\ & &= 1- \dfrac12 \\ & &\mathbf{= \dfrac12} \\\\ & \text{rechte Seite:} & \sum\limits_{k=1}^{1} \dfrac{ 1 } { 1+k } \\ & &= \dfrac{1}{1+1} \\ & &\mathbf{= \dfrac12} \\ \hline \end{array}$

$\text{Für $\mathbf{n=1}$ sind beide Seiten gleich, und die Aussage ist wahr!}$

$\text{Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:} \\ \begin{array}{|rcll|} \hline \displaystyle \sum\limits_{k=1}^{2n} \dfrac{ (-1)^{k-1} } { k } &=& \displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{ 1 } { n+k } \\ \hline \end{array}$

$\text{Der Induktionsschluss von $\mathbf{n}$ nach $\mathbf{n+1}$:} \\ \begin{array}{|rcll|} \hline \displaystyle \sum\limits_{k=1}^{2(n+1)} \dfrac{ (-1)^{k-1} } { k } &=&\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n+1} \dfrac{ 1 } { (n+1)+k } \\ \hline \end{array}$

$\bf{\text{linke Seite:}} \\ \begin{array}{|rcll|} \hline \mathbf{ \displaystyle \sum\limits_{k=1}^{2(n+1)} \dfrac{ (-1)^{k-1} } { k } } \\ &= & \displaystyle \sum\limits_{k=1}^{2n+2} \dfrac{ (-1)^{k-1} } { k } \\\\ &= & \displaystyle \sum\limits_{k=1}^{2n} \dfrac{ (-1)^{k-1} } { k } + \overbrace{\dfrac{(-1)^{(2n+1)-1} }{2n+1}}^{\text{für }k=2n+1\text{ :}} + \overbrace{\dfrac{(-1)^{(2n+2)-1} }{2n+2}}^{\text{für }k=2n+2\text{ :}} \\\\ &= & \displaystyle \sum\limits_{k=1}^{2n} \dfrac{ (-1)^{k-1} } { k } + \overbrace{\dfrac{(-1)^{2n} }{2n+1}}^{\text{Exponent gerade :}} + \overbrace{\dfrac{(-1)^{2n+1} }{2n+2}}^{\text{Exponent ungerade :}} \\\\ &= & \displaystyle \sum\limits_{k=1}^{2n} \dfrac{ (-1)^{k-1} } { k } + \dfrac{ 1 }{2n+1} - \dfrac{ 1 }{2n+2} \\\\ &\mathbf{\overset{I.A.}{=}} & \mathbf{ \displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{ 1 } { n+k } + \dfrac{ 1 }{2n+1} - \dfrac{ 1 }{2n+2} } \\ \hline \end{array}$

$\small{ \bf{\text{rechte Seite Vorbereitung :}} \\ \begin{array}{|ll|} \hline \sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{ 1 } { n+k } &=& \dfrac{1} {n+1} +& \dfrac{1} {n+2}+ \dfrac{1} {n+3}+ \ldots +\dfrac{1} {2n} \\ \sum\limits_{k=1}^{n+1} \dfrac{ 1 } { (n+1)+k } &=& & \dfrac{1} {n+2} + \dfrac{1} {n+3}+ \ldots +\dfrac{1} {2n}+\dfrac{1} {2n+1}+\dfrac{1} {2n+2} \\ \hline \sum\limits_{k=1}^{n+1} \dfrac{ 1 } { (n+1)+k } - \sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{ 1 } { n+k } &=& & \dfrac{1} {2n+1}+\dfrac{1} {2n+2} - \dfrac{1} {n+1} \\ \mathbf{ \sum\limits_{k=1}^{n+1} \dfrac{ 1 } { (n+1)+k } } &=& \mathbf{ \sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{ 1 } { n+k } +} & \mathbf{ \dfrac{1} {2n+1}+\dfrac{1} {2n+2} - \dfrac{1} {n+1} } \\ \hline \end{array} }$

$\bf{\text{rechte Seite:}} \\ \begin{array}{|ll|} \hline \mathbf{ \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n+1} \dfrac{ 1 } { (n+1)+k } } &=& \mathbf{ \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{ 1 } { n+k } + \dfrac{1} {2n+1}+\dfrac{1} {2n+2} - \dfrac{1} {n+1} } \\\\ &=& \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{ 1 } { n+k } + \dfrac{1} {2n+1}+\dfrac{1} {2(n+1)} - \dfrac{1} {n+1} \\\\ &=& \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{ 1 } { n+k } + \dfrac{1} {2n+1} - \dfrac{1} {n+1} \cdot \left(1-\dfrac12 \right) \\\\ &=& \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{ 1 } { n+k } + \dfrac{1} {2n+1} - \dfrac{1} {n+1} \cdot \left(\dfrac12 \right) \\\\ &=& \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{ 1 } { n+k } + \dfrac{1} {2n+1} - \dfrac{1} {2(n+1)} \\\\ &\mathbf{=}&\mathbf{ \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{ 1 } { n+k } + \dfrac{1} {2n+1} - \dfrac{1} {2n+2} } \\ \hline \end{array}$