Wie funktioniert der induktionsschritt ich schaffe es nicht die Reihe so umzuformen,dass klar ist dasss die beiden Äquivalent sind
Wie löse ich diese Induktion bzw. wie bekomme ich den Induktionsschritt hin .
\(\bf{\text{Zeigen Sie mit vollständiger Induktion:}} \\ \displaystyle \sum\limits_{k=1}^{2n} \dfrac{ (-1)^{k-1} } { k } =\sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{ 1 } { n+k }, \text{ für alle } n \in \mathbb{N} \)
\(\text{Induktionsanfang:} \\ \begin{array}{|lll|} \hline n=1 & \text{linke Seite:} & \sum\limits_{k=1}^{2} \dfrac{ (-1)^{k-1} } { k }\\ & &= \dfrac{(-1)^0}{1} +\dfrac{(-1)^1}{2} \\ & &= 1- \dfrac12 \\ & &\mathbf{= \dfrac12} \\\\ & \text{rechte Seite:} & \sum\limits_{k=1}^{1} \dfrac{ 1 } { 1+k } \\ & &= \dfrac{1}{1+1} \\ & &\mathbf{= \dfrac12} \\ \hline \end{array}\)
\(\text{Für $\mathbf{n=1}$ sind beide Seiten gleich, und die Aussage ist wahr!}\)
\(\text{Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:} \\ \begin{array}{|rcll|} \hline \displaystyle \sum\limits_{k=1}^{2n} \dfrac{ (-1)^{k-1} } { k } &=& \displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{ 1 } { n+k } \\ \hline \end{array}\)
\(\text{Der Induktionsschluss von $\mathbf{n}$ nach $\mathbf{n+1}$:} \\ \begin{array}{|rcll|} \hline \displaystyle \sum\limits_{k=1}^{2(n+1)} \dfrac{ (-1)^{k-1} } { k } &=&\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n+1} \dfrac{ 1 } { (n+1)+k } \\ \hline \end{array}\)
\(\bf{\text{linke Seite:}} \\ \begin{array}{|rcll|} \hline \mathbf{ \displaystyle \sum\limits_{k=1}^{2(n+1)} \dfrac{ (-1)^{k-1} } { k } } \\ &= & \displaystyle \sum\limits_{k=1}^{2n+2} \dfrac{ (-1)^{k-1} } { k } \\\\ &= & \displaystyle \sum\limits_{k=1}^{2n} \dfrac{ (-1)^{k-1} } { k } + \overbrace{\dfrac{(-1)^{(2n+1)-1} }{2n+1}}^{\text{für }k=2n+1\text{ :}} + \overbrace{\dfrac{(-1)^{(2n+2)-1} }{2n+2}}^{\text{für }k=2n+2\text{ :}} \\\\ &= & \displaystyle \sum\limits_{k=1}^{2n} \dfrac{ (-1)^{k-1} } { k } + \overbrace{\dfrac{(-1)^{2n} }{2n+1}}^{\text{Exponent gerade :}} + \overbrace{\dfrac{(-1)^{2n+1} }{2n+2}}^{\text{Exponent ungerade :}} \\\\ &= & \displaystyle \sum\limits_{k=1}^{2n} \dfrac{ (-1)^{k-1} } { k } + \dfrac{ 1 }{2n+1} - \dfrac{ 1 }{2n+2} \\\\ &\mathbf{\overset{I.A.}{=}} & \mathbf{ \displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{ 1 } { n+k } + \dfrac{ 1 }{2n+1} - \dfrac{ 1 }{2n+2} } \\ \hline \end{array}\)
\(\small{ \bf{\text{rechte Seite Vorbereitung :}} \\ \begin{array}{|ll|} \hline \sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{ 1 } { n+k } &=& \dfrac{1} {n+1} +& \dfrac{1} {n+2}+ \dfrac{1} {n+3}+ \ldots +\dfrac{1} {2n} \\ \sum\limits_{k=1}^{n+1} \dfrac{ 1 } { (n+1)+k } &=& & \dfrac{1} {n+2} + \dfrac{1} {n+3}+ \ldots +\dfrac{1} {2n}+\dfrac{1} {2n+1}+\dfrac{1} {2n+2} \\ \hline \sum\limits_{k=1}^{n+1} \dfrac{ 1 } { (n+1)+k } - \sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{ 1 } { n+k } &=& & \dfrac{1} {2n+1}+\dfrac{1} {2n+2} - \dfrac{1} {n+1} \\ \mathbf{ \sum\limits_{k=1}^{n+1} \dfrac{ 1 } { (n+1)+k } } &=& \mathbf{ \sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{ 1 } { n+k } +} & \mathbf{ \dfrac{1} {2n+1}+\dfrac{1} {2n+2} - \dfrac{1} {n+1} } \\ \hline \end{array} }\)
\(\bf{\text{rechte Seite:}} \\ \begin{array}{|ll|} \hline \mathbf{ \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n+1} \dfrac{ 1 } { (n+1)+k } } &=& \mathbf{ \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{ 1 } { n+k } + \dfrac{1} {2n+1}+\dfrac{1} {2n+2} - \dfrac{1} {n+1} } \\\\ &=& \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{ 1 } { n+k } + \dfrac{1} {2n+1}+\dfrac{1} {2(n+1)} - \dfrac{1} {n+1} \\\\ &=& \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{ 1 } { n+k } + \dfrac{1} {2n+1} - \dfrac{1} {n+1} \cdot \left(1-\dfrac12 \right) \\\\ &=& \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{ 1 } { n+k } + \dfrac{1} {2n+1} - \dfrac{1} {n+1} \cdot \left(\dfrac12 \right) \\\\ &=& \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{ 1 } { n+k } + \dfrac{1} {2n+1} - \dfrac{1} {2(n+1)} \\\\ &\mathbf{=}&\mathbf{ \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{ 1 } { n+k } + \dfrac{1} {2n+1} - \dfrac{1} {2n+2} } \\ \hline \end{array}\)