Wie löse ich die folgenden Potenzgleichungen?

5∙8^(x+1)=〖16〗^(x-1)

$$\begin{array}{rcl} 5\cdot 8^{(x+1)} &=& 16^{(x-1)} \\ 5\cdot 8^x\cdot 8^1 &=& 16^x \cdot 16^{-1} \\ 40\cdot 8^x &=& \dfrac{16^x}{16}\\\\ 40\cdot 16 &=& \dfrac{16^x}{8^x}\\\\ \dfrac{16^x}{8^x} &=& 40\cdot 16 \\\\ \dfrac{16^x}{8^x} &=& 640\\\\ \left( \dfrac{16}{8} \right)^x &=& 640\\\\ 2^x &=& 640 \quad | \quad \log_{10}\\\\ \log_{10}(2^x) &=& \log_{10}(640) \quad | \quad \log_{10}\\\\ x\cdot \log_{10}(2) &=& \log_{10}(640) \\\\ x &=& \dfrac{ \log_{10}(640) } { \log_{10}(2) }\\\\ x &=& \dfrac{ 2.80617997398} {0.30102999566}\\\\ x &=& 9.32192809489 \end{array}$$

Wie löse ich die folgenden Potenzgleichungen? 

3∙5^2x=7^(x+4)

$$\begin{array}{rcl} 3\cdot5^{2x} &=& 7^{(x+4)}\\ 3\cdot 5^{2x} &=& 7^x\cdot 7^4\\ \dfrac{5^{2x} }{7^x} &=& \dfrac{7^4}{3} \quad | \quad \log_{10}\\\\ \log_{10}\left( \dfrac{5^{2x} }{7^x} \right) &=& \log_{10}\left( \dfrac{7^4}{3} \right) \\ \\ \log_{10}\left( 5^{2x} \right) - \log_{10}\left( 7^x \right) &=& \log_{10}\left( \dfrac{7^4}{3} \right) \\ \\ 2x\cdot \log_{10}\left( 5\right) - x \cdot \log_{10}\left( 7\right) &=& \log_{10}\left( \dfrac{7^4}{3} \right) \\ \\ x \cdot \left[ 2\cdot \log_{10}( 5 )- \log_{10}( 7 ) \right] &=& \log_{10}\left( \dfrac{7^4}{3} \right) \\ \\ x \cdot \left[ \log_{10}( 5^2 )- \log_{10}( 7 ) \right] &=& \log_{10}\left( \dfrac{7^4}{3} \right) \\ \\ x \cdot \left[ \log_{10} \left( \dfrac{5^2}{ 7 }\right) \right] &=& \log_{10}\left( \dfrac{7^4}{3} \right) \\ \\ x &=& \dfrac{ \log_{10} \left( \dfrac{7^4}{ 3 }\right) } { \log_{10}\left( \dfrac{5^2}{7} \right) } \\ \\ x &=& \dfrac{ \log_{10} \left( 800.333333333 \right) } { \log_{10}\left( 3.57142857143 \right) } \\ \\ x &=& \dfrac{ 2.90327090534 } { 0.55284196866 } \\ \\ x &=& 5.25153854073 \end{array}$$

Hallo Anonymous,

Die Ergebnisse von  heureka sind (wie immer) richtig !

$${\mathtt{x}} = {\frac{{log}_{10}\left({\mathtt{640}}\right)}{{log}_{10}\left({\mathtt{2}}\right)}}$$           =>    $${\frac{{log}_{10}\left({\mathtt{640}}\right)}{{log}_{10}\left({\mathtt{2}}\right)}} = {\mathtt{9.321\: \!928\: \!094\: \!887\: \!361\: \!6}}$$

$${\frac{{log}_{10}\left({\frac{{{\mathtt{7}}}^{{\mathtt{4}}}}{{\mathtt{3}}}}\right)}{{log}_{10}\left({\frac{{{\mathtt{5}}}^{{\mathtt{2}}}}{{\mathtt{7}}}}\right)}} = {\mathtt{5.251\: \!538\: \!540\: \!726\: \!350\: \!5}}$$  

( Ich glaube, vorher war noch eine falsche Antwort im Forum zu lesen.  Nicht von heureka ! )

Gruß radix !