wie kann ich den schnittpunkt von zwei 2 dimensionalen vektoren bestimmen?

wie kann ich den schnittpunkt von zwei

2 dimensionalen vektoren bestimmen ?

Gegeben:

• Vektor  $$\small{\text{$\vec{v}_1$}}$$  mit der Anfangskoordinte $$\small{\text{$\vec{P}_1$}}$$  und der Endkoordinte $$\small{\text{$\vec{P}_2$}}$$ .

$$\small{\text{$\vec{v}_1=\vec{P}_2-\vec{P}_1$}}$$

• Vektor $$\small{\text{$\vec{v}_2$}}$$  mit der Anfangskoordinte $$\small{\text{$\vec{P}_3$}}$$  und der Endkoordinte $$\small{\text{$\vec{P}_4$}}$$ .

$$\small{\text{$\vec{v}_2=\vec{P}_4-\vec{P}_3$}}$$

Der Schnittpunkt $$\small{\text{$\vec{s}$}}$$  von $$\small{\text{$\vec{v}_1$}}$$  mit $$\small{\text{$\vec{v}_2$}}$$  ist gesucht.

Der Ansatz:

$$\boxed{\small{\text{$\lambda \cdot \vec{v}_1 - \mu \cdot \vec{v}_2=\vec{P}_3-\vec{P}_1$. Wobei $\vec{s}=\vec{P}_1+\lambda\cdot\vec{v}_1= \vec{P}_3+\mu\cdot\vec{v}_2 $ ist.}}}$$ .

Wobei  $$\small{\text{$\lambda$}}$$  und   $$\small{\text{$\mu$}}$$  gesuchte Skalare sind.

Die Berechnung von $$\small{\text{$\lambda$}}$$ :

$$\small{\text{ $ \begin{array}{rcll} \lambda \cdot \vec{v}_1 - \mu \cdot \vec{v}_2 &=& \vec{P}_3-\vec{P}_1 & \quad | \quad \times \vec{v}_2\\ \lambda \cdot |\vec{v}_1\times \vec{v}_2| - \mu \cdot |\vec{v}_2\times \vec{v}_2| &=& |(\vec{P}_3-\vec{P}_1 \times \vec{v}_2 | & \quad | \quad |\vec{v}_2\times \vec{v}_2| = |\vec{v}_1|\cdot |\vec{v}_2|\cdot \sin{(0\ensurement{^{\circ}})} = 0 \\ \lambda \cdot |\vec{v}_1\times \vec{v}_2| &=& |(\vec{P}_3-\vec{P}_1) \times \vec{v}_2|\\ \lambda &=& \dfrac{ |(\vec{P}_3-\vec{P}_1) \times \vec{v}_2| }{ |\vec{v}_1\times \vec{v}_2| }\\ \end{array} $}}$$

$$\small{\text{ $ \begin{array}{rcl} \vec{s} &=& \vec{P}_1+\lambda\cdot\vec{v}_1\\\\ \vec{s} &=& \vec{P}_1+\dfrac{ |(\vec{P}_3-\vec{P}_1) \times \vec{v}_2| }{ |\vec{v}_1\times \vec{v}_2| }\cdot\vec{v}_1 \\\\ \vec{s} &=& \vec{P}_1+\dfrac{ |(\vec{P}_3-\vec{P}_1) \times (\vec{P}_4-\vec{P}_3) | }{ | (\vec{P}_2-\vec{P}_1) \times (\vec{P}_4-\vec{P}_3)| }\cdot (\vec{P}_2-\vec{P}_1) \\\\ \end{array} $}}$$

$$\small{\text{ $ \begin{array}{rcl} \vec{s} &=& \binom{x_1}{y_1}+\dfrac{ | \binom{x_3-x_1}{y_3-y_1} \times \binom{x_4-x_3}{y_4-y_3} | }{ | \binom{x_2-x_1}{y_2-y_1} \times \binom{x_4-x_3}{y_4-y_3} | }\cdot \binom{x_2-x_1}{y_2-y_1} \\\\ \binom{s_x}{s_y} &=& \binom{x_1}{y_1} + \dfrac{ (x_3-x_1)(y_4-y_3)-(y_3-y_1)(x_4-x_3) } { (x_2-x_1)(y_4-y_3)-(y_2-y_1)(x_4-x_3) } \cdot \binom{x_2-x_1}{y_2-y_1} \\\\ \end{array} $}}$$

$$\boxed{ \small{\text{ $ \begin{array}{rcl} s_x &=& x_1 + \dfrac{ (x_3-x_1)(y_4-y_3)-(y_3-y_1)(x_4-x_3) } { (x_2-x_1)(y_4-y_3)-(y_2-y_1)(x_4-x_3) } \cdot (x_2-x_1)\\\\ s_y &=& y_1 + \dfrac{ (x_3-x_1)(y_4-y_3)-(y_3-y_1)(x_4-x_3) } { (x_2-x_1)(y_4-y_3)-(y_2-y_1)(x_4-x_3) } \cdot (y_2-y_1) \\\\ \end{array} $}}}$$

Ich überlege mir noch ein Beispiel.