wie kann ich den schnittpunkt von zwei 2 dimensionalen vektoren bestimmen?

wie kann ich den schnittpunkt von zwei

2 dimensionalen vektoren bestimmen ?

Gegeben:

• Vektor $$\small{\text{$\vec{v}_1$}}$$ mit der Anfangskoordinte $$\small{\text{$\vec{P}_1$}}$$ und der Endkoordinte $$\small{\text{$\vec{P}_2$}}$$.

$$\small{\text{$\vec{v}_1=\vec{P}_2-\vec{P}_1$}}$$

• Vektor $$\small{\text{$\vec{v}_2$}}$$ mit der Anfangskoordinte $$\small{\text{$\vec{P}_3$}}$$ und der Endkoordinte $$\small{\text{$\vec{P}_4$}}$$.

$$\small{\text{$\vec{v}_2=\vec{P}_4-\vec{P}_3$}}$$

Der Schnittpunkt $$\small{\text{$\vec{s}$}}$$ von $$\small{\text{$\vec{v}_1$}}$$ mit $$\small{\text{$\vec{v}_2$}}$$ ist gesucht.

Der Ansatz:

$$\boxed{\small{\text{$\lambda \cdot \vec{v}_1 - \mu \cdot \vec{v}_2=\vec{P}_3-\vec{P}_1$. Wobei
$\vec{s}=\vec{P}_1+\lambda\cdot\vec{v}_1= \vec{P}_3+\mu\cdot\vec{v}_2
$ ist.}}}$$.

Wobei $$\small{\text{$\lambda$}}$$ und  $$\small{\text{$\mu$}}$$ gesuchte Skalare sind.

Die Berechnung von $$\small{\text{$\lambda$}}$$:

$$\small{\text{
$
\begin{array}{rcll}
\lambda \cdot \vec{v}_1 - \mu \cdot \vec{v}_2 &=& \vec{P}_3-\vec{P}_1 & \quad | \quad \times \vec{v}_2\\
\lambda \cdot |\vec{v}_1\times \vec{v}_2| - \mu \cdot |\vec{v}_2\times \vec{v}_2| &=& |(\vec{P}_3-\vec{P}_1 \times \vec{v}_2 |
& \quad | \quad |\vec{v}_2\times \vec{v}_2| = |\vec{v}_1|\cdot |\vec{v}_2|\cdot \sin{(0\ensurement{^{\circ}})} = 0 \\
\lambda \cdot |\vec{v}_1\times \vec{v}_2| &=& |(\vec{P}_3-\vec{P}_1) \times \vec{v}_2|\\
\lambda &=& \dfrac{ |(\vec{P}_3-\vec{P}_1) \times \vec{v}_2| }{ |\vec{v}_1\times \vec{v}_2| }\\
\end{array}
$}}$$

$$\small{\text{
$
\begin{array}{rcl}
\vec{s} &=& \vec{P}_1+\lambda\cdot\vec{v}_1\\\\
\vec{s} &=& \vec{P}_1+\dfrac{ |(\vec{P}_3-\vec{P}_1) \times \vec{v}_2| }{ |\vec{v}_1\times \vec{v}_2| }\cdot\vec{v}_1 \\\\
\vec{s} &=& \vec{P}_1+\dfrac{ |(\vec{P}_3-\vec{P}_1) \times (\vec{P}_4-\vec{P}_3) | }{ | (\vec{P}_2-\vec{P}_1) \times (\vec{P}_4-\vec{P}_3)| }\cdot (\vec{P}_2-\vec{P}_1) \\\\
\end{array}
$}}$$

$$\small{\text{
$
\begin{array}{rcl}
\vec{s} &=& \binom{x_1}{y_1}+\dfrac{
| \binom{x_3-x_1}{y_3-y_1} \times \binom{x_4-x_3}{y_4-y_3} |
}{
| \binom{x_2-x_1}{y_2-y_1} \times \binom{x_4-x_3}{y_4-y_3} |
}\cdot \binom{x_2-x_1}{y_2-y_1} \\\\
\binom{s_x}{s_y} &=& \binom{x_1}{y_1}
+ \dfrac{ (x_3-x_1)(y_4-y_3)-(y_3-y_1)(x_4-x_3) }
{ (x_2-x_1)(y_4-y_3)-(y_2-y_1)(x_4-x_3) }
\cdot \binom{x_2-x_1}{y_2-y_1} \\\\
\end{array}
$}}$$

$$\boxed{
\small{\text{
$
\begin{array}{rcl}
s_x &=& x_1
+ \dfrac{ (x_3-x_1)(y_4-y_3)-(y_3-y_1)(x_4-x_3) }
{ (x_2-x_1)(y_4-y_3)-(y_2-y_1)(x_4-x_3) }
\cdot (x_2-x_1)\\\\
s_y &=& y_1
+ \dfrac{ (x_3-x_1)(y_4-y_3)-(y_3-y_1)(x_4-x_3) }
{ (x_2-x_1)(y_4-y_3)-(y_2-y_1)(x_4-x_3) }
\cdot (y_2-y_1) \\\\
\end{array}
$}}}$$

Ich überlege mir noch ein Beispiel.