+3976 Ich geh' mal davon aus, dass du's per Hand machen musst - ansonsten wäre die Antwort "mit einem Taschenrechner".
Wenn du schon weisst, dass die Zahl, deren Wurzel du willst, eine Quadratzahl einer natürlichen Zahl ist (oder du ein "angenehmes", rundes Ergebnis erwartest), so kannst du dich mit gezieltem probieren Herantasten. Das Intervallschachtelungs-Verfahren (kommt unten noch) funktioniert dann auch gut, weil der am Ende erwähnte Nachteil wegfällt.
Ganz allgemein können Wurzeln per Hand immer mit dem Heron-Verfahren berechnet werden, wie das funktioniert kannst du hier nachlesen:
https://de.wikipedia.org/wiki/Heron-Verfahren
Das Heron-Verfahren ist gut, weil es in der Regel nach nur wenigen Schritten recht gute Ergebnisse liefert.
Auch ganz nützlich ist das Intervallschachtelungs-Verfahren, welches ich hier mal zeigen will:
Ich nenn' die gesuchte Wurzel mal w. Wir lösen also w²=1728. Man kennt (hoffentlich) 40²=1600 & 50²=2500. 1728 ist zwischen diesen Zahlen, also ist w in [40; 50] enthalten.
Zwischen 40 & 50 ist beispielsweise 45, 45²=2025. 1728 ist kleiner als 2025, d.h. wir können die rechte Grenze durch 45 ersetzen - w ist also in [40; 45].
Zwischen 40 & 45 ist beispielsweise 42, 42²=1764. 1728 ist wieder kleiner, d.h. wir können wieder die rechte Grenze ersetzen - w ist in [40;42].
Zwischen 40 & 42 ist beispielsweise 41, 41²=1681. 1728 ist größer, d.h. wir ersetzen die linke Grenze durch 41 - w ist in [41, 42].
Nun würd's weitergehen mit Kommazahlen, so lange bis man die Wurzel relativ genau eingegrenzt hat. Findet man zB. den Intervall [41,55 ; 41,57], so kann man sagen - nach korrektem Runden ist w ungefähr 41,6. Je feiner man die Intervallgrenzen bestimmt, desto genauer wird's natürlich.
Ein großer Nachteil bei diesem Verfahren ist, dass man für hohe Genauigkeit einige Kommazahlen quadrieren muss, wozu vermutlich ein Taschenrechner nötig ist - wenn man einen Rechner hat kann man aber auch einfach die Wurzel von 1728 berechnen lassen.
