+0  
 
+1
77
2
avatar+31 

Hallo Leutee,

 ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe.

 

danke im voraus

 16.01.2019
 #1
avatar+21295 
+6

Wie bestimme ich den Grenzwert ?

 

4b.)

\(\displaystyle \lim \limits_{x\searrow 0} x^x \qquad \text{von rechts annähern}\)

 

mit \(\begin{array}{|rcll|} \hline x &=& 0+\dfrac{1}{n} \\ &=& \dfrac{1}{n} \\ \hline \end{array}\)

 

erhalten wir :  \(\displaystyle \lim \limits_{n\to \infty} \Big(\dfrac{1}{n} \Big)^{\frac{1}{n}} \)

 

 

Formel : \(\begin{array}{|rcll|} \hline \ln \left(\displaystyle\lim \limits_{x\to \infty} f(x)\right) &=& \displaystyle\lim \limits_{x\to \infty} \ln f(x) \\ \hline \end{array}\)

 

Wir logarithmieren:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \ln \left(\displaystyle\lim \limits_{n\to \infty} \Big(\dfrac{1}{n} \Big)^{\frac{1}{n}} \right) &=& \displaystyle\lim \limits_{n\to \infty} \ln \left( \Big(\dfrac{1}{n} \Big)^{\frac{1}{n}} \right)\\\\ &=& \displaystyle\lim \limits_{n\to \infty} \dfrac{1}{n}\cdot \ln \left( \dfrac{1}{n} \right)\\\\ &=& \displaystyle\lim \limits_{n\to \infty} \dfrac{ \ln \left(\dfrac{1}{n}\right) }{n} \qquad \text{Bernoulli / de l'Hospital} \\\\ &=& \displaystyle\lim \limits_{n\to \infty} \dfrac{ \Big(\ln \left(\dfrac{1}{n}\right)\Big)' }{(n)'} \quad | \quad \Big(\ln \left(\dfrac{1}{n}\right)\Big)' = \dfrac{-\dfrac{1}{n^2}}{\dfrac{1}{n}}=-\dfrac{1}{n} \qquad (n)' = 1 \\\\ &=& \displaystyle\lim \limits_{n\to \infty} \left( \dfrac{ -\dfrac{1}{n} }{1}\right) \\\\ &=& \displaystyle\lim \limits_{n\to \infty} \left( -\dfrac{1}{n} \right) \\ \hline \end{array}\)

 

Das Logarithmieren wird zurückgesetzt:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline e^{ \ln \left(\displaystyle\lim \limits_{n\to \infty} \Big(\dfrac{1}{n} \Big)^{\frac{1}{n}} \right) } &=& e^{\displaystyle\lim \limits_{n\to \infty} \left( -\dfrac{1}{n} \right) } \\\\ \displaystyle\lim \limits_{n\to \infty} \Big(\dfrac{1}{n} \Big)^{\frac{1}{n}} &=& e^{\displaystyle\lim \limits_{n\to \infty} \left( -\dfrac{1}{n} \right) } \quad | \quad \displaystyle\lim \limits_{n\to \infty} \left( -\dfrac{1}{n} \right) = -0 \\\\ \displaystyle\lim \limits_{n\to \infty} \Big(\dfrac{1}{n} \Big)^{\frac{1}{n}} &=& e^{-0} \\\\ &=& e^{0} \\\\ &=& \mathbf{1} \\\\ && \boxed{ \mathbf{\displaystyle \lim \limits_{x\searrow 0} x^x = 1 } } \\ \hline \end{array}\)

 

laugh

 17.01.2019
 #2
avatar+21295 
+6

Wie bestimme ich den Grenzwert ?


4c.)

\(\displaystyle \lim \limits_{x \to 0} \Big(1+\arctan(x) \Big)^{\frac{1}{x}} \)

 

Formel: \(\begin{array}{|rcll|} \hline \ln \left(\displaystyle\lim \limits_{x\to 0} f(x)\right) &=& \displaystyle\lim \limits_{x\to 0} \ln f(x) \\ \hline \end{array}\)
 

Wir logarithmieren:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \ln \left(\displaystyle\lim \limits_{x\to 0} \Big(1+\arctan(x) \Big)^{\frac{1}{x}} \right) &=& \displaystyle\lim \limits_{x\to 0} \ln \left( \Big(1+\arctan(x) \Big)^{\frac{1}{x}} \right)\\\\ &=& \displaystyle\lim \limits_{x\to 0} \dfrac{ \ln \left( 1+\arctan(x) \right)}{x} \qquad \text{Bernoulli / de l'Hospital} \\\\ &=& \displaystyle\lim \limits_{x\to 0} \dfrac{ \Big( \ln \left( 1+\arctan(x) \right) \Big)'}{ (x)'} \\ && \Big( \ln \left( 1+\arctan(x) \right) \Big)' = \dfrac{\dfrac{1}{x^2+1}} {1+\arctan(x)} \qquad (x)' = 1 \\\\ &=& \displaystyle\lim \limits_{x\to 0} \dfrac{ \dfrac{\dfrac{1}{x^2+1}} {1+\arctan(x)}}{ 1} \\\\ &=& \displaystyle\lim \limits_{x\to 0} \dfrac{1} {(x^2+1)\Big(1+\arctan(x)\Big)} \\\\ &=& \dfrac{1} {(0^2+1)\Big(1+\arctan(0)\Big)} \\\\ &=& \dfrac{1} { 1\cdot(1+0)} \\\\ &=& \mathbf{1} \\ \hline \end{array} \)

 

Das Logarithmieren wird zurückgesetzt:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline e^{\ln \left(\displaystyle\lim \limits_{x\to 0} \Big(1+\arctan(x) \Big)^{\frac{1}{x}} \right) } &=& e^1 \\\\ \boxed{\mathbf{ \displaystyle\lim \limits_{x\to 0} \Big(1+\arctan(x) \Big)^{\frac{1}{x}} = e}} \\ \hline \end{array}\)

 

laugh

 17.01.2019
bearbeitet von heureka  17.01.2019

39 Benutzer online

avatar
avatar

Datenschutzerklärung

Wir verwenden Cookies, um Inhalte und Anzeigen bereitzustellen und die Zugriffe auf unsere Website anonymisiert zu analysieren.

Bitte klicken Sie auf "Cookies und Datenschutzerklärung akzeptieren", wenn Sie mit dem Setzen der in unserer Datenschutzerklärung aufgeführten Cookies einverstanden sind und der Drittanbieter Google Adsense auf dieser Webseite nicht-personalisierte Anzeigen für Sie einbinden darf. Nach Einwilligung erhält der Anbieter Google Inc. Informationen zu Ihrer Verwendung unserer Webseite.

Davon unberührt bleiben solche Cookies, die nicht einer Einwilligung bedürfen, weil diese zwingend für das Funktionieren dieser Webseite notwendig sind.

Weitere Informationen: Cookie Bestimmungen und Datenschutzerklärung.