wie berechnet man am einfachsten aus dem scheitelpunkt und punkt p die funktionsgleichung f(x)=a(x-d)²+e ??

wie berechnet man am einfachsten aus dem scheitelpunkt und punkt p die funktionsgleichung f(x)=a(x-d)²+e  ?

Gegeben ist der Scheitelpunkt $$S(d,e)$$ und der Punkt $$P(x_p,y_p):$$

Gesucht ist die Gleichung: $$f(x)=a(x-d)^2+e$$

Wir setzten in die Gleichung S und P ein und berechnen damit die fehlende Konstante $$a$$ :

$$f(x) = y_p \quad x = x_p \qquad \Rightarrow\qquad y_p = a(x_y-d)^2+e$$  

Jetzt lösen wir die Gleichung nach der Unbekannten a auf:

  $$y_p = a(x_y-d)^2+e \quad | \quad -e \\\\ a(x_y-d)^2 = y_p-e \quad | \quad : (x_y-d)^2 \\\\ a = \dfrac{y_p-e}{(x_y-d)^2}$$

Ist der Scheitelpunkt S(2,-1) d. h. $$d=2 \ und \ e = -1$$ gegeben und ein Punkt P(1,2) d. h. $$x_p = 1 \ und \ y_p = 2$$ gegeben, so errechnet sich a zu:

$$a = \dfrac{y_p-e}{(x_y-d)^2} \\\\ a = \dfrac{2-(-1)}{(1-2)^2} \\\\ a = \dfrac{2+1}{(-1)^2} \\\\ a = \dfrac{3}{1} \\\\ a = 3$$

Die Gleichung würde dann lauten: $$\boxed{y=3(x-2)^2-1}$$

Siehe die Grafik:

Die Parabel geht durch den Scheitelpunkt S(2,-1) und durch den Punkt P(1,2)

Du hast 3 Unbekannte a,d und e. Demzufolge benötigst Du 3 Gleichungen. Du würdest also ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten benötigen, hast aber nur zwei Punkte. Da es sich hierbei aber um eine Parabel handelt, liegt symmetrisch zum Punkt P ein weiterer Punkt, nennen wir ihn Q. Die Symmetrieachse verläuft durch den x-Wert des Scheitelpunktes.

Beispiel: S(2/-1); P(1/2) dann ist Q(3/2). Mache eine Skizze, dann siehst Du es. Setze S indie erste Gleichung

P in die zweite Gleichungund Q in die dritte Gleichung ein und löse das Gleichungssystem mit dem Gauss-Verfahren. Verwend am besten gleich die Form: f(x)=ax² + bx + c. Wenn Du a,b und c berechnet hast, verwandle zurück in die Scheitelform. So hast Du nicht so viel Rechnerei.

Mein Beispiel:

               f(x) = ax² + bx + c

S(2/-1)      -1 = 4a   + 2b  + c          hier steht die 4 für x², denn 2*2 =4 und für f(x) die -1

P(1/2)          2 =  a    +  b  + c         

Q(3/2)          2 = 9a    +3b  +c

Nun das Gleichungssystem lösen, a,b und c in die Normalform einsetzen und in die Scheitelform umwandeln.

Solltest Du noch Fragen haben, melde Dich noch mal. Gruß