Wie berechne ich die Scheitelpunktform? Und wie die Normalform?

Quadratische Gleichung

a) Wie berechne ich die Scheitelpunktform?

b) Und wie die Normalform?

Allgemeine Form und Scheitelform einer quadratischen Funktion

a) Allgemeine Form  in    Scheitelform  umwandeln.

  f(x) = ax² + bx +c   →    f(x) = a (x − d)² + e

Die Umwandlung von der allgemeinen Form zur Scheitelform erfolgt mit quadratischer Ergänzung.

Beispiel:  f(x) = 1x² + 2x + 5

                         a        b      c

Normalform

f(x) = x² + 2x + 5                          

\(=x^2+2x\ {\color{blue}+\ (\frac{2}{2})^2-(\frac{2}{2})^2}+5\)    Quadratische Ergänzung

\(=(x+\frac{2}{2})^2-(\frac{2}{2})^2+5\)                in eine Binomische Formel umschreiben.  

\(=(x+1)^2-1+5\)

Scheitelform

\(f(x)=(x+{\color{red}1})^2+\color{red}4\)   

\(f(x)=a(x{\color{red}−d})^2 +\color{red}e\)

Aus ihr kann man den Scheitelpunkt S  der Parabel direkt herauslesen:

Er hat die Koordinaten S (d | e) → Scheitelpunkt: S (−1 | 4)

b) Scheitelform in Normalform umwandeln

Scheitelform

\(f(x)=a(x-d)^2+e\\ f(x)=1(x-1)^2+4\)                \(\color{Yellow}.\\ Klammer\ ausrechnen\)

\(=1(x^2-2x+1)+4\\ =x^2-2x+1+4\)   

Normalform

\(f(x)=1x^2-2x+5\\ f(x)=ax^2 -2x +5\)   

Graphische  Darstellung  f(x) = x² - 2x + 5

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