aufgabe 1. (a) Welche der folgenden Teilmengen von R sind offen, welche sind abgeschlossen?
A=[−3,0[∪]0,1]B=]−∞,3[C={0}∪{e−n∣n∈N}
Begründen Sie jeweils Ihre Behauptung.
(b) Zeigen Sie, dass die folgende Menge abgeschlossen im R2 ist. Sie dürfen dabei keine Ergebnisse aus §5 verwenden.
E={(x,y)∈R2∣x+y≤1}
+3976 Nachdem nichts dabei steht, geh' ich mal von der Standardmetrik bzw. der Standard-Topologie aus.
Dann ist A weder offen noch abgeschlossen (denn A enthält den Randpunkt 1 -> nicht offen, aber das Komplement von A enthält den Randpunkt 0 -> Komplement nicht offen -> A nicht abgeschlossen), B ist offen (offenes Intervall ist offen) und C ist als Vereinigung einzelner Punktmengen eine Vereinigung abgeschlossener Mengen und daher abgeschlossen.
Für b) könnte man beispielsweise zeigen, dass E das Urbild der Menge [0;√2]×[0;√2] unter einer geeigneten stetigen Funktion ist (diese Funktion sollte das Quadrat E um 45° drehen und ein bisschen verschieben - eine solche Funktion ist linear und daher stetig).
