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aufgabe 1. (a)  Welche der folgenden Teilmengen von \( \mathbb{R} \) sind offen, welche sind abgeschlossen?
\(
A=[-3,0[\cup] 0,1] \quad B=]-\infty, 3\left[\quad C=\{0\} \cup\left\{e^{-n} \mid n \in \mathbb{N}\right\}\right.
\)
Begründen Sie jeweils Ihre Behauptung.
(b)  Zeigen Sie, dass die folgende Menge abgeschlossen im \( \mathbb{R}^{2} \) ist. Sie dürfen dabei keine Ergebnisse aus \( \S 5 \) verwenden.
\(
E=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x+y \leq 1\right\}
\)

 22.04.2021
 #1
avatar+2849 
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Nachdem nichts dabei steht, geh' ich mal von der Standardmetrik bzw. der Standard-Topologie aus.

Dann ist A weder offen noch abgeschlossen (denn A enthält den Randpunkt 1 -> nicht offen, aber das Komplement von A enthält den Randpunkt 0 -> Komplement nicht offen -> A nicht abgeschlossen), B ist offen (offenes Intervall ist offen) und C ist als Vereinigung einzelner Punktmengen eine Vereinigung abgeschlossener Mengen und daher abgeschlossen.

 

Für b) könnte man beispielsweise zeigen, dass E das Urbild der Menge \([0;\sqrt2] \times [0;\sqrt2]\) unter einer geeigneten stetigen Funktion ist (diese Funktion sollte das Quadrat E um 45° drehen und ein bisschen verschieben - eine solche Funktion ist linear und daher stetig).

 22.04.2021

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