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(i) Es gibt genau 54 Polynome f ∈ F3[x] mit deg(f) = 3.
(ii) Die Gradformel deg(fg) = deg(f) + deg(g)

 10.12.2020
 #1
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In \(\mathbb{F}_3[x]\) gibt's tatsächlich 54 Polynome von Grad 3: Alle Polynome diesen Grades haben die Form ax³+bx²+cx+d, wobei a ungleich 0 sein muss. Daher kann man für a noch 2 verschiedene Zahlen wählen, für die anderen aber 3. Insgesamt gibt es daher 2·3·3·3=54 Möglichkeiten.

 

Die Gradformel ist wahr. Man kann sich davon leicht überzeugen, indem man mal zwei Polynome in allgemeiner Form (also mit beliebigem Grad) aufschreibt und sich überlegt, wie der Leitterm des Produkts der beiden Polynome aussehen muss. Wichtig ist, dass das ganze über einem Körper stattfindet - gäbe es Nullteiler, so wäre die Gradformel ungültig (zB. ist in Z/4Z[x] 2x · 2x = 4x²=0, aber deg(0)

 10.12.2020

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