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Ich würde gerne wissen, was ein Integral ist. Wir machen das noch nicht in der Schule, aber mich interessiert das.

 

Vielen Dank schon mal! smiley

 23.01.2021

Beste Antwort 

 #1
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Klar - wahrscheinlich geht's dann im Moment im Analysis-Bereich bei dir um Extremstellen, Ableitung, Monotonie un Ähnliches. Das Integral ist ebenfalls ein Werkzeug, mit dem ihr Funktionen bearbeiten werdet. In erster Linie werdet ihr es verwenden, um die Größe der Fläche zu berechnen, die von einer Funktion eingeschlossen wird. Wir betrachten dazu ein Beispiel:

 

Sei f(x)= -x² +2x.

Diese Funktion hat Nullstellen bei 0 & 2 und ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Scheitel S(1|1).

Ich zeig' die Funktion gleich in einem Bild, in dem auch die Fläche grün gekennzeichnet ist, die wir im Folgenden berechnen werden. 

 

 

Die Fläche ist nicht mit "herkömmlichen" Geometrie-Methoden berechenbar, weil sie ja keine einfache Form hat. Man könnte den Flächeninhalt aber näherungsweise bestimmen, indem man die x-Achse in gleich große Bereiche unterteilt und Rechtecke konstruiert, die sich entweder von unten oder von oben an die Funktion annähern. Das sieht dann etwa so aus (x-Achse in 4 Bereiche unterteilt):

 

 

 

Man nennt die Summen der Flächeninhalte dieser Rechtecke dann Obersumme Sn und Untersumme sn , wobei n die Anzahl der Intervalle ist, in die die x-Achse unterteilt wurde. Die Obersumme ist dabei immer größer als der Flächeninhalt der grünen Fläche vom Anfang, die Untersumme ist immer kleiner. Man sieht leich ein, dass Ober- und Untersumme den Flächeninhalt genauer annähern, wenn die Anzahl der Intervalle erhöht wird - kurz&verständlich: Je schmäler die Rechtecke, desto genauer kann man sie an die Funktion anpassen. 

 

Bildet man hier noch die Grenzwerte \(lim_{n \rightarrow \infty} S_n \ \& \ \ lim_{n \rightarrow \infty} s_n\) und sind diese Gleich, so schreibt man das ganze als Integral.

\(lim_{n \rightarrow \infty} S_n = lim_{n \rightarrow \infty} s_n = \int_0^2 -x^2+2x\ dx\)

 

Die Integrationsgrenzen (über und unter dem Integral-Zeichen) geben dabei an, von wo bis wo auf der x-Achse die Fläche geht, deren Inhalt man berechnen möchte, das "dx" am Ende kann man sich zunächst wie "Klammer zumachen" vorstellen, gibt an in welche Richtung die Intervalle immer kleiner werden. Im Inneren steht die Funktion, die Integriert werden soll. 

Bemerkenswert ist hierbei, dass das Integral nicht direkt die Fläche berechnet, sondern Fläche unterhalb der x-Achse "negativ wertet" - würden wir hier also das Integral von 0 bis 4 unserer Funktion berechnen, so käme deutlich weniger 'raus als die grüne Fläche, wahrscheinlich was negatives.

 

Die Berechnung des Integrals erfolgt per Stammfunktion-Bildung und ist, wenn man erstmal die Stammfunktion der Funktion im Integral hat, ganz einfach: Nur die beiden Grenzen einsetzen und das Ergebnis der unteren Grenze von dem der oberen Grenze abziehen. In unserem Beispiel sieht das so aus:

\( \int_0^2 -x^2+2x\ dx = [-\frac{1}{3}x^3+x^2]_0^2 = (-\frac{1}{3} \cdot 2^3+2^2)-(-\frac{1}{3} \cdot 0^3+0^2) = \frac{4}{3}\)

 

Der Flächeininhalt der grünen Fläche vom ersten Bild ist also 4/3.

 

Kurz&knapp kann man also sagen: Das Integral ist ein Werkzeug, das ihr hauptsächlich zur Berechnung von irgendwelchen Flächen nutzen werdet und bei dessen Berechnung das Bilden von Stammfunktionen eine Hauptrolle spielt. Im Abi macht man damit auch noch einige ganz witzige Kleinigkeiten, auf die würd' ich hier jetzt aber mal noch nicht eingehen.

 

Ich hoffe, das wahr verständlich - frag' gern nochmal nach wenn was unklar ist!

 23.01.2021
 #1
avatar+2585 
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Beste Antwort

Klar - wahrscheinlich geht's dann im Moment im Analysis-Bereich bei dir um Extremstellen, Ableitung, Monotonie un Ähnliches. Das Integral ist ebenfalls ein Werkzeug, mit dem ihr Funktionen bearbeiten werdet. In erster Linie werdet ihr es verwenden, um die Größe der Fläche zu berechnen, die von einer Funktion eingeschlossen wird. Wir betrachten dazu ein Beispiel:

 

Sei f(x)= -x² +2x.

Diese Funktion hat Nullstellen bei 0 & 2 und ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Scheitel S(1|1).

Ich zeig' die Funktion gleich in einem Bild, in dem auch die Fläche grün gekennzeichnet ist, die wir im Folgenden berechnen werden. 

 

 

Die Fläche ist nicht mit "herkömmlichen" Geometrie-Methoden berechenbar, weil sie ja keine einfache Form hat. Man könnte den Flächeninhalt aber näherungsweise bestimmen, indem man die x-Achse in gleich große Bereiche unterteilt und Rechtecke konstruiert, die sich entweder von unten oder von oben an die Funktion annähern. Das sieht dann etwa so aus (x-Achse in 4 Bereiche unterteilt):

 

 

 

Man nennt die Summen der Flächeninhalte dieser Rechtecke dann Obersumme Sn und Untersumme sn , wobei n die Anzahl der Intervalle ist, in die die x-Achse unterteilt wurde. Die Obersumme ist dabei immer größer als der Flächeninhalt der grünen Fläche vom Anfang, die Untersumme ist immer kleiner. Man sieht leich ein, dass Ober- und Untersumme den Flächeninhalt genauer annähern, wenn die Anzahl der Intervalle erhöht wird - kurz&verständlich: Je schmäler die Rechtecke, desto genauer kann man sie an die Funktion anpassen. 

 

Bildet man hier noch die Grenzwerte \(lim_{n \rightarrow \infty} S_n \ \& \ \ lim_{n \rightarrow \infty} s_n\) und sind diese Gleich, so schreibt man das ganze als Integral.

\(lim_{n \rightarrow \infty} S_n = lim_{n \rightarrow \infty} s_n = \int_0^2 -x^2+2x\ dx\)

 

Die Integrationsgrenzen (über und unter dem Integral-Zeichen) geben dabei an, von wo bis wo auf der x-Achse die Fläche geht, deren Inhalt man berechnen möchte, das "dx" am Ende kann man sich zunächst wie "Klammer zumachen" vorstellen, gibt an in welche Richtung die Intervalle immer kleiner werden. Im Inneren steht die Funktion, die Integriert werden soll. 

Bemerkenswert ist hierbei, dass das Integral nicht direkt die Fläche berechnet, sondern Fläche unterhalb der x-Achse "negativ wertet" - würden wir hier also das Integral von 0 bis 4 unserer Funktion berechnen, so käme deutlich weniger 'raus als die grüne Fläche, wahrscheinlich was negatives.

 

Die Berechnung des Integrals erfolgt per Stammfunktion-Bildung und ist, wenn man erstmal die Stammfunktion der Funktion im Integral hat, ganz einfach: Nur die beiden Grenzen einsetzen und das Ergebnis der unteren Grenze von dem der oberen Grenze abziehen. In unserem Beispiel sieht das so aus:

\( \int_0^2 -x^2+2x\ dx = [-\frac{1}{3}x^3+x^2]_0^2 = (-\frac{1}{3} \cdot 2^3+2^2)-(-\frac{1}{3} \cdot 0^3+0^2) = \frac{4}{3}\)

 

Der Flächeininhalt der grünen Fläche vom ersten Bild ist also 4/3.

 

Kurz&knapp kann man also sagen: Das Integral ist ein Werkzeug, das ihr hauptsächlich zur Berechnung von irgendwelchen Flächen nutzen werdet und bei dessen Berechnung das Bilden von Stammfunktionen eine Hauptrolle spielt. Im Abi macht man damit auch noch einige ganz witzige Kleinigkeiten, auf die würd' ich hier jetzt aber mal noch nicht eingehen.

 

Ich hoffe, das wahr verständlich - frag' gern nochmal nach wenn was unklar ist!

Probolobo 23.01.2021
 #2
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Vielen, vielen Dank, dass du dir so viel Aufwand und Mühe gemacht hast!

Und ja, das war sehr anschaulich und verständlich erklärt!

Gast 23.01.2021
 #3
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Gerne, freut mich immer wenn's hilft! :)

Probolobo  23.01.2021
 #4
avatar+12415 
0

Danke Probolobo!

laugh  !

 23.01.2021

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