Was ist die Funktion (2x-1)*e^x aufgeleitet?

Ich hatte abgeleitet gelesen. Da muss ich noch mal rechnen.

Was ist die Funktion f(x)= (2x-1)*e^x aufgeleitet ?

$$\int{(2x-1)\cdot e^x} \ dx \\\\ =2\cdot \int{x\cdot e^x} \ dx - \int{ e^x} \ dx \quad | \quad \boxed{\int{ e^x} \ dx = e^x }\\\\ =2\cdot \int{x\cdot e^x} \ dx - e^x \\\\ \textcolor[rgb]{1,0,0}{ \small{\text{Wir l\"osen das $ \int{x\cdot e^x} \ dx $ mit partieller Integration }} }\\\\\\ \small{\text{Wir wenden folgende Regel an : $ \boxed{\int{u\cdot v'} = u\cdot v - \int{u'\cdot v} } $}}\\\\ \small{\text{$\int{\underbrace{x}_{=u}\cdot \underbrace{e^x}_{=v'}} \ dx $}}\\ \\ \begin{array}{ll} u = x & u' = 1 \\ v' = e^x & v = \int{v'} = \int{e^x}\ dx = e^x \end{array}\\\\ \small{\text{$\int{\underbrace{x}_{=u}\cdot \underbrace{e^x}_{=v'}} \ dx = \underbrace{x}_{=u} \cdot \underbrace{e^x}_{=v} - \int{\underbrace{1}_{=u'}\cdot \underbrace{e^x}_{=v} }\ dx \\ $}}\\ \\ \small{\text{$\int{x \cdot e^x } \ dx = x \cdot e^x - \int{ e^x }\ dx $}}\\ \\ \small{\text{$\int{x \cdot e^x } \ dx = x \cdot e^x - \underbrace{\int{ e^x }\ dx}_{=e^x} $}}$$

$$\boxed{ \small{\text{$\int{x \cdot e^x } \ dx = x \cdot e^x - e^x $}} }\\\\ \small{\text{ $ \int{(2x-1)\cdot e^x} \ dx \\ = 2\cdot \int{x\cdot e^x} \ dx - e^x $}}\\ \small{\text{ $ \int{(2x-1)\cdot e^x} \ dx \\ = 2\cdot ( x \cdot e^x - e^x ) - e^x + c $}}\\ \small{\text{ $\int{(2x-1)\cdot e^x} \ dx \\ = 2\cdot x \cdot e^x - 2 \cdot e^x - e^x + c $}}\\ \small{\text{ $\int{(2x-1)\cdot e^x} \ dx \\ = 2\cdot x \cdot e^x - 3 \cdot e^x + c $}} \\\\ \boxed{ \small{\text{ $\int{(2x-1)\cdot e^x} \ dx \\ = ( 2\cdot x - 3 ) \cdot e^x +c \ $}} }$$