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Zurzeit beschäftige ich mich mit der Logik, und bin dabei zur Prädikatenlogik angekommen. Die Negation der Quantoren ist mir vollkommen klar, aber tatsächlich ist doch eine recht triviale Sache mir intuitiv weniger einleuchtend, nämlich: warum wird bei der Negation des Vergleichsoperators ">" dieser nicht einfach zu "<", sondern zu "<="? 

\(\neg\forall x \in X: \quad (y \gt \epsilon) =\exists x \in X: \quad (y \leq \epsilon) \)

 

Ich habe mir bereits einige Gedankengänge gemacht, aber mir erschließt sich das nicht. Hat es vielleicht damit etwas zu tun, dass bei dem "<" eine Zahl (die für Gleichheit sorgt) praktisch ausgelassen wird?

 

MfG,

Lamip

Guest 01.10.2018
 #1
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Warum wird bei der Negation des Vergleichsoperators ">" dieser nicht einfach zu "<", sondern zu "<="? 

 

Hallo Lamip!

 

Eine Regel, die vorsieht, dass bei Operationen mit Ungleichungen aus den Vergleichsoperatoren

 > oder <    ein     \(\leqq\) oder  \(\geqq\)     wird,

existiert meines Wissens nicht.

Das gilt sowohl bei Addition und Subtraktion positiver oder negativer Variablen

als auch bei Multiplikation und Division mit positiven oder negativen Variablen,

jeweils auf beiden Seiten der Ungleichung.

 

Es gilt:

  

wenn a>b dann ist a+c>b+c

wenn a>b dann ist a-c>b-c

wenn a>b dann ist ac>bc

wenn a>b dann ist -ac<-bc

wenn a>b dann ist a/c>b/c

wenn a>b

           dann ist -a/c<-b/c

 

Der Inhalt der von dir angeführten Verhältnisgleichung ist sehr interessant.

Bitte erkläre uns, was dahinter steckt.

 

Grüße von

 laugh   !

asinus  02.10.2018
bearbeitet von asinus  02.10.2018
bearbeitet von asinus  02.10.2018
bearbeitet von asinus  02.10.2018
 #2
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+1

Hallo, asinus.

In jedem Skript, das ich bisher online gefunden habe, wird in der Prädikatenlogik stets (durch Negation) das < Symbol zu >=, selbiges auch für >, welches zu <= wird, wenn wir ">" negieren. Ich sehe aber, dass ich hier einen kleinen Schreibfehler gemacht habe, "y" soll hier eigentlich "x" heißen. Ich spreche hier auch nicht von Ungleichungen. Da ist mir das Verhältnis ja auch klar, weshalb es mich wundert, warum es in der Prädikatenlogik anders gemacht wird.

 

Die Verhältnisgleichung sagt im Prinzip nichts anderes aus als folgendes:

Wenn nicht für alle x € X gilt, dass x > e ist, dann gibt es mind. ein x für das gilt, dass x <= e ist.

 

MfG,

Lamip.

Gast 04.10.2018
 #3
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Ah, ich glaube ich habe es gerade selbst herausgefunden. Es war doch wirklich trivial!

Tatsächlich ist es ganz logisch, wenn man sich die Quantoren und deren Negation anschaut. Für den einen Fall, in dem wir bspw. für alle x > 5 betrachten, kann ja die Negation des Allquantors nur heißen, dass es mindestens eine Zahl x geben muss, für die das Prädikat (x > 5) des Allquantors falsch wird. Es muss aber eben nicht sein, dass nur x < 5 sein kann, damit x > 5 als falsch auswertet, sondern natürlich auch das x = 5 sein kann, wodurch ja eben auch x > 5 zu falsch auswertet, gerade weil ja 5 nicht kleiner 5 ist. Also ist die richtige Negation eben doch die, dass x <= 5 sein muss.

 

MfG,

Lamip.

Gast 04.10.2018
 #4
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Falls jemand in Zukunft ebenfalls dieselbe Frage hat, hier nochmal wie ich selbst darauf gekommen bin:

 

Wir betrachten die prädikatenlogische Ausdruck mit einem Allquantor für alle x, das Element der natürlichen Zahlen ist, den wir über das Prädikat x > 5 bilden. Wir suchen dabei den Fall, dass für mindestens ein x (Existenzquantor) das Prädikat zu falsch auswertet. Das können also entweder alle Zahlen sein, die echt kleiner sind als 5 (also x < 5), aber eben auch die 5 selbst. (x = 5) Daher ist die Negation die, dass wir mindestens ein x haben, für das gilt, dass x kleiner oder gleich (<=) 5 ist, d.h. x <= 5. Denn nur dann und nur dann wertet das Prädikat x > 5 zu falsch aus.

 

MfG,

Lamip.

Gast 04.10.2018
bearbeitet von Gast  04.10.2018

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