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Hallo, 

 

kann mir jmd bitte mit der aufgabe helfen, komme beim Induktionsschritt nicht weiter.

 

 

Aufgabe: Beweisen Sie die folgenden Aussagen für n ∈ N mittels vollständiger Induktion

 

 

\(\sum_{k=1}^{n} {k}^{2} =\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)

 20.04.2023
 #1
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Beweisen Sie die folgende Aussage für n ∈ \(\mathbb N\) mittels vollständiger Induktion.

\(\sum_{k=1}^{n} {k}^{2} =\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)

 

Hallo Freund skll99910!

 

Beweis mit völlständiger Induktion

\(\sum_{k=1}^{n} {k}^{2} =\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)

 

Induktionsanfang:

\(n=1\\ linke\ Seite:\ 1^2\\ =1\\ rechte\ Seite:\ \frac{1}{6}\cdot 1(1+1)(2\cdot 1+1) =\frac{1}{6}\cdot 1\cdot 2\cdot 3\\ =1\)

Für n=1 sind beide Seiten gleich, und die Aussage ist wahr!

 

Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:

\(\sum_{k=1}^{n} {k}^{2} =\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)

 

Der Induktionsschluss von n nach n+1:

\(linke\ Seite:\\\sum_{k=1}^{n} {k}^{2},\ k\to k+1\\ \\k^2+(k+1)^2\\1^2+2^2=1+4\\ =5\\ rechte\ Seite:\\ \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1),\ n\to n+1\\ \frac{1}{6}(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1)\\ =\frac{1}{6}(1+1)(1+1+1)(2(1+1)+1)\\ =\frac{1}{6} \cdot 2\cdot 3\cdot 5\\ =5 \)

Beide Seiten sind gleich! Die Aussage ist mit vollständiger Induktion bewiesen.

Eine ausführliche Erklärung zum Thema "vollständige Induktion" findest du unter https://de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A4ndige_Induktion.

laugh  !

 21.04.2023
bearbeitet von asinus  21.04.2023
bearbeitet von asinus  21.04.2023

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