Vollständiger Induktion

Beweisen Sie die folgende Aussage für n ∈ $\mathbb N$ mittels vollständiger Induktion.

$\sum_{k=1}^{n} {k}^{2} =\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

Hallo Freund skll99910!

Beweis mit völlständiger Induktion

$\sum_{k=1}^{n} {k}^{2} =\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

Induktionsanfang:

$n=1\\ linke\ Seite:\ 1^2\\ =1\\ rechte\ Seite:\ \frac{1}{6}\cdot 1(1+1)(2\cdot 1+1) =\frac{1}{6}\cdot 1\cdot 2\cdot 3\\ =1$

Für n=1 sind beide Seiten gleich, und die Aussage ist wahr!

Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:

$\sum_{k=1}^{n} {k}^{2} =\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

Der Induktionsschluss von n nach n+1:

$linke\ Seite:\\\sum_{k=1}^{n} {k}^{2},\ k\to k+1\\ \\k^2+(k+1)^2\\1^2+2^2=1+4\\ =5\\ rechte\ Seite:\\ \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1),\ n\to n+1\\ \frac{1}{6}(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1)\\ =\frac{1}{6}(1+1)(1+1+1)(2(1+1)+1)\\ =\frac{1}{6} \cdot 2\cdot 3\cdot 5\\ =5$

Beide Seiten sind gleich! Die Aussage ist mit vollständiger Induktion bewiesen.

Eine ausführliche Erklärung zum Thema "vollständige Induktion" findest du unter https://de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A4ndige_Induktion.

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