+5 Hallo,
kann mir jmd bitte mit der aufgabe helfen, komme beim Induktionsschritt nicht weiter.
Aufgabe: Beweisen Sie die folgenden Aussagen für n ∈ N mittels vollständiger Induktion
\(\sum_{k=1}^{n} {k}^{2} =\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)
+14995 Beweisen Sie die folgende Aussage für n ∈ \(\mathbb N\) mittels vollständiger Induktion.
\(\sum_{k=1}^{n} {k}^{2} =\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)
Hallo Freund skll99910!
Beweis mit völlständiger Induktion
\(\sum_{k=1}^{n} {k}^{2} =\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)
Induktionsanfang:
\(n=1\\ linke\ Seite:\ 1^2\\ =1\\ rechte\ Seite:\ \frac{1}{6}\cdot 1(1+1)(2\cdot 1+1) =\frac{1}{6}\cdot 1\cdot 2\cdot 3\\ =1\)
Für n=1 sind beide Seiten gleich, und die Aussage ist wahr!
Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:
\(\sum_{k=1}^{n} {k}^{2} =\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)
Der Induktionsschluss von n nach n+1:
\(linke\ Seite:\\\sum_{k=1}^{n} {k}^{2},\ k\to k+1\\ \\k^2+(k+1)^2\\1^2+2^2=1+4\\ =5\\ rechte\ Seite:\\ \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1),\ n\to n+1\\ \frac{1}{6}(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1)\\ =\frac{1}{6}(1+1)(1+1+1)(2(1+1)+1)\\ =\frac{1}{6} \cdot 2\cdot 3\cdot 5\\ =5 \)
Beide Seiten sind gleich! Die Aussage ist mit vollständiger Induktion bewiesen.
Eine ausführliche Erklärung zum Thema "vollständige Induktion" findest du unter https://de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A4ndige_Induktion.
!
