wie komm ich von
(n(n+1)(2n+1))/6 +(n+1)2
nach
((n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1))/6
#Vollständige_Induktion
Ich beginne damit, alles auf einen Nenner zu bringen und zu vereinfachen;
\({n(n+1)(2n+1) \over 6}+(n+1)^2 \\ = {n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2 \over 6} \\ = {n(n+1)(2n+1)+6n^2+12n+6 \over 6} \\ = {2n^3+3n^2+n+6n^2+12n+6 \over 6} \\ = {2n^3+9n^2+13n+6 \over 6}\)
Das Polynom im Zähler zerlege ich nun in Linearfaktoren, x=-1 ist offensichtlich eine Nullstelle, Polynomdivision liefert
\({(n+1)(n+2)(2n+3) \over 6} \\= {(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1) \over 6}\)
Damit ist der Induktionsschritt von n nach n+1 vollendet.
Induktionsverankerung: Für \(n=0\)ist die Aussage wahr, denn \(0^2=\frac{0(0+1)(0+1)}{6}\)
Induktionsschluss: Es gelte die Aussage für ein beliebiges \(n \in ℕ\)(Induktionsannahme).
Dann folgt:
\(0^2+1^2+\dots+n^2+(n+1)^2=(0^2+1^2+\dots+n^2)+(n+1)^2 \)
\(=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 \)(Induktionsannahme)
\(=\frac{n+1}{6}(n(2n+1)+6(n+1))\)
\(=\frac{n+1}{6}(2n^2+7n+6)\)
\(=\frac{n+1}{6}(2n+3)(n+2)\)
\(=\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}\),
also die behauptete Aussage für\((n+1)\). Insgesamt folgt die zu zeigende Identität für alle \(n \in ℕ.\)