#Vollständige_Induktion wie komm ich von

Ich beginne damit, alles auf einen Nenner zu bringen und zu vereinfachen;

${n(n+1)(2n+1) \over 6}+(n+1)^2 \\ = {n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2 \over 6} \\ = {n(n+1)(2n+1)+6n^2+12n+6 \over 6} \\ = {2n^3+3n^2+n+6n^2+12n+6 \over 6} \\ = {2n^3+9n^2+13n+6 \over 6}$

Das Polynom im Zähler zerlege ich nun in Linearfaktoren, x=-1 ist offensichtlich eine Nullstelle, Polynomdivision liefert

${(n+1)(n+2)(2n+3) \over 6} \\= {(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1) \over 6}$

Damit ist der Induktionsschritt von n nach n+1 vollendet.

Induktionsverankerung: Für $n=0$ist die Aussage wahr, denn $0^2=\frac{0(0+1)(0+1)}{6}$

Induktionsschluss: Es gelte die Aussage für ein beliebiges $n \in ℕ$(Induktionsannahme).

Dann folgt:

$0^2+1^2+\dots+n^2+(n+1)^2=(0^2+1^2+\dots+n^2)+(n+1)^2$

$=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2$(Induktionsannahme)

$=\frac{n+1}{6}(n(2n+1)+6(n+1))$

$=\frac{n+1}{6}(2n^2+7n+6)$

$=\frac{n+1}{6}(2n+3)(n+2)$

$=\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}$,

also die behauptete Aussage für$(n+1)$. Insgesamt folgt die zu zeigende Identität für alle $n \in ℕ.$