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wie komm ich von

 

(n(n+1)(2n+1))/6 +(n+1)2

 

nach

 

((n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1))/6

 

#Vollständige_Induktion

Guest 08.02.2017
 #1
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Ich beginne damit, alles auf einen Nenner zu bringen und zu vereinfachen;

 

\({n(n+1)(2n+1) \over 6}+(n+1)^2 \\ = {n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2 \over 6} \\ = {n(n+1)(2n+1)+6n^2+12n+6 \over 6} \\ = {2n^3+3n^2+n+6n^2+12n+6 \over 6} \\ = {2n^3+9n^2+13n+6 \over 6}\)

 

Das Polynom im Zähler zerlege ich nun in Linearfaktoren, x=-1 ist offensichtlich eine Nullstelle, Polynomdivision liefert

 

\({(n+1)(n+2)(2n+3) \over 6} \\= {(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1) \over 6}\)

 

Damit ist der Induktionsschritt von n nach n+1 vollendet.

Gast 15.02.2017
 #2
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Induktionsverankerung: Für \(n=0\)ist die Aussage wahr, denn \(0^2=\frac{0(0+1)(0+1)}{6}\)

 

Induktionsschluss: Es gelte die Aussage für ein beliebiges \(n \in ℕ\)(Induktionsannahme).

 

Dann folgt:

\(0^2+1^2+\dots+n^2+(n+1)^2=(0^2+1^2+\dots+n^2)+(n+1)^2 \)

\(=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 \)(Induktionsannahme)

\(=\frac{n+1}{6}(n(2n+1)+6(n+1))\)

\(=\frac{n+1}{6}(2n^2+7n+6)\)

\(=\frac{n+1}{6}(2n+3)(n+2)\)

\(=\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}\),

also die behauptete Aussage für\((n+1)\). Insgesamt folgt die zu zeigende Identität für alle \(n \in ℕ.\)

Gast 17.02.2017

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