Vollständige Induktion

Für alle natürlichen Zahlen n gilt:

n

∑ k²=(1/6)n(n+ 1)*(2n+ 1)

k=0

Führen sie einen Beweis mittels vollständiger Induktion durch.

\(0^2+ 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 =\displaystyle \sum \limits_{k=0}^{n} k^2 = \frac{n(n+ 1)*(2n+ 1)}{6} \quad (\text{ für alle } n \ge 0)\)

Induktionsanfang:

n = 0:    linke Seite: \(0^2 = 0\)
             rechte Seite: \( \frac{0(0+ 1)(2\cdot0+ 1)}{6} = 0\)

Induktionsschluss:

n+1:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \displaystyle \sum \limits_{k=0}^{n+1} k^2 \\\\ &=& \displaystyle \sum \limits_{k=0}^{n} k^2 + (n+1)^2 \\\\ &=& \dfrac{n(n+ 1)(2n+ 1)}{6} + (n+1)^2 \\\\ &=& \dfrac{n(n+ 1)(2n+ 1)+6(n+1)^2}{6} \\\\ &=& \dfrac{(n+1)[n(2n+ 1)+6(n+1)]}{6} \\\\ &=& \dfrac{(n+1)[2n^2+n+6n+6]}{6} \\\\ &=& \dfrac{(n+1)[2n^2+7n+6]}{6} \\\\ &=& \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} \\\\ &=& \dfrac{(n+1)[(n+1)+1][2(n+1)+1]}{6} \\ \hline \end{array} \)