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Für alle natürlichen Zahlen n gilt:

 

n

∑ k2=(1/6)n(n+ 1)*(2n+ 1)

k=0

 

Führen sie einen Beweis mittels vollständiger Induktion durch.

 08.11.2017

Beste Antwort 

 #1
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Für alle natürlichen Zahlen n gilt:

n

∑ k2=(1/6)n(n+ 1)*(2n+ 1)

k=0

Führen sie einen Beweis mittels vollständiger Induktion durch.

 

02+12+22+32+...+n2=nk=0k2=n(n+1)(2n+1)6( für alle n0)


Induktionsanfang:

n = 0:    linke Seite: 02=0
             rechte Seite: 0(0+1)(20+1)6=0


Induktionsschluss:

n+1:

n+1k=0k2=nk=0k2+(n+1)2=n(n+1)(2n+1)6+(n+1)2=n(n+1)(2n+1)+6(n+1)26=(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]6=(n+1)[2n2+n+6n+6]6=(n+1)[2n2+7n+6]6=(n+1)(n+2)(2n+3)6=(n+1)[(n+1)+1][2(n+1)+1]6

 

 

laugh

 09.11.2017
bearbeitet von heureka  09.11.2017
 #1
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Beste Antwort

Für alle natürlichen Zahlen n gilt:

n

∑ k2=(1/6)n(n+ 1)*(2n+ 1)

k=0

Führen sie einen Beweis mittels vollständiger Induktion durch.

 

02+12+22+32+...+n2=nk=0k2=n(n+1)(2n+1)6( für alle n0)


Induktionsanfang:

n = 0:    linke Seite: 02=0
             rechte Seite: 0(0+1)(20+1)6=0


Induktionsschluss:

n+1:

n+1k=0k2=nk=0k2+(n+1)2=n(n+1)(2n+1)6+(n+1)2=n(n+1)(2n+1)+6(n+1)26=(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]6=(n+1)[2n2+n+6n+6]6=(n+1)[2n2+7n+6]6=(n+1)(n+2)(2n+3)6=(n+1)[(n+1)+1][2(n+1)+1]6

 

 

laugh

heureka 09.11.2017
bearbeitet von heureka  09.11.2017
 #2
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Danke heureka!

asinus  09.11.2017

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