Für alle natürlichen Zahlen n gilt:
n
∑ k2=(1/6)n(n+ 1)*(2n+ 1)
k=0
Führen sie einen Beweis mittels vollständiger Induktion durch.
Für alle natürlichen Zahlen n gilt:
n
∑ k2=(1/6)n(n+ 1)*(2n+ 1)
k=0
Führen sie einen Beweis mittels vollständiger Induktion durch.
02+12+22+32+...+n2=n∑k=0k2=n(n+1)∗(2n+1)6( für alle n≥0)
Induktionsanfang:
n = 0: linke Seite: 02=0
rechte Seite: 0(0+1)(2⋅0+1)6=0
Induktionsschluss:
n+1:
n+1∑k=0k2=n∑k=0k2+(n+1)2=n(n+1)(2n+1)6+(n+1)2=n(n+1)(2n+1)+6(n+1)26=(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]6=(n+1)[2n2+n+6n+6]6=(n+1)[2n2+7n+6]6=(n+1)(n+2)(2n+3)6=(n+1)[(n+1)+1][2(n+1)+1]6
Für alle natürlichen Zahlen n gilt:
n
∑ k2=(1/6)n(n+ 1)*(2n+ 1)
k=0
Führen sie einen Beweis mittels vollständiger Induktion durch.
02+12+22+32+...+n2=n∑k=0k2=n(n+1)∗(2n+1)6( für alle n≥0)
Induktionsanfang:
n = 0: linke Seite: 02=0
rechte Seite: 0(0+1)(2⋅0+1)6=0
Induktionsschluss:
n+1:
n+1∑k=0k2=n∑k=0k2+(n+1)2=n(n+1)(2n+1)6+(n+1)2=n(n+1)(2n+1)+6(n+1)26=(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]6=(n+1)[2n2+n+6n+6]6=(n+1)[2n2+7n+6]6=(n+1)(n+2)(2n+3)6=(n+1)[(n+1)+1][2(n+1)+1]6