Hallo Freunde! Ich habe ein kleines Problem bei einer Aufgabe die ich lösen muss zur Klausurvorbereitung! und zwar vollst. Induktion: Summe von k=1 bis n 2*3^(k-1)= 3^n -1. ich komme einfach nicht auf das Ergebnis obwohl der Induktionsanfang stimmt. Vielen Dank schonmal
+118608 sum of k = 1 to n 2 * 3 ^ (k-1) = 3 ^ n -1
Lets see.
For all positive integers
Prove by induction that \(\displaystyle\sum_{k=1}^n\;\;2*3^{k-1}=3^{n}-1\)
Step 1:
Prove true for n=1
\(LHS=2*3^0=2*1=2\\ RHS=3^{1}-1=3-1=2=LHS\\ \text{So the statement is true for n=1} \)
Step 2:
Assume the statement is true foe some positive integer y, then frove true for y+1
that is:
Assume \(\displaystyle\sum_{k=1}^y\;\;2*3^{k-1}=3^{y}-1\)
Prove that \(\displaystyle\sum_{k=1}^{y+1}\;\;2*3^{k-1}=3^{y+1}-1\)
\(\begin{align}\\LHS&=\displaystyle\sum_{k=1}^{y}\;\;2*3^{k-1}\;\;+\;\;2*3^y\\ &=3^y-1\;\;+\;\;2*3^y\\ &=3*3^y-1\\ &=3^{y+1}-1\\ &=RHS \end{align}\\ \text{Hence if the statement is true for a certain positive integer n=y, it will be true for n=y+1 }\\\)
Step 3:
The statement is true for n=1
So it must be true for n=2, n=3 etc
The statement must be true for all positive integer values of n QED 
