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Hallo Freunde! Ich habe ein kleines Problem bei einer Aufgabe die ich lösen muss zur Klausurvorbereitung! und zwar vollst. Induktion: Summe von k=1 bis n 2*3^(k-1)= 3^n -1. ich komme einfach nicht auf das Ergebnis obwohl der Induktionsanfang stimmt. Vielen Dank schonmal

Guest 05.08.2017
 #1
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+2

sum of k = 1 to n 2 * 3 ^ (k-1) = 3 ^ n -1

Lets see.

 

For all positive integers

Prove by induction that   \(\displaystyle\sum_{k=1}^n\;\;2*3^{k-1}=3^{n}-1\)

 

Step 1:

Prove true for n=1

\(LHS=2*3^0=2*1=2\\ RHS=3^{1}-1=3-1=2=LHS\\ \text{So the statement is true for n=1} \)

 

Step 2:

 

Assume the statement is true foe some positive integer y, then frove true for y+1

that is:

Assume    \(\displaystyle\sum_{k=1}^y\;\;2*3^{k-1}=3^{y}-1\)

 

Prove that     \(\displaystyle\sum_{k=1}^{y+1}\;\;2*3^{k-1}=3^{y+1}-1\)

 

\(\begin{align}\\LHS&=​​​​\displaystyle\sum_{k=1}^{y}\;\;2*3^{k-1}\;\;+\;\;2*3^y\\ &=3^y-1\;\;+\;\;2*3^y\\ &=3*3^y-1\\ &=3^{y+1}-1\\ &=RHS \end{align}\\ \text{Hence if the statement is true for a certain positive integer n=y, it will be true for n=y+1 }\\\)

 

Step 3:

The statement is true for n=1

So it must be true for n=2, n=3 etc

The statement must be true for all positive integer values of n            QED      smiley

Melody  13.08.2017
bearbeitet von Melody  13.08.2017
 #2
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+1

Thanks Melody!

asinus  13.08.2017

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