Vollständige Induktion

Hallo Gast!

Vollständige Induktion.

Zeigen, dass für alle $n\in \mathbb N$ die letzte Dezimalziffer der Zahl $a_n$ eine Null ist. 

Beweis mit vollständiger Induktion

Aussage:

$a_n = 9^n + (−1)^{n-1}$

Induktionsanfang:

n=1

Rechte Seite: $9^1+(-1)^{1-1}=9+(-1)^0=\color{blue}9+1=10$ 

Linke Seite: $\color{blue}a_1=10$

Die letzte Dezimalziffer von $a_n$ ist eine Null, und die Aussage ist richtig!

Die Induktionsannahme (I.A) lautet:

$\color{blue}a_n = 9^n + (−1)^{n-1}\\ \color{blue}Die\ letzte\ Ziffer\ von\ a_n\ ist\ stets\ eine\ Null.$

Der Induktionsschluss von n nach n+1:

$rechte\ Seite:\\ 9^{n+1} + (−1)^{n+1-1}\\ 9^{1+1} + (−1)^{1+1-1}\\ =81+(-1)\\ \color{blue}=80\\ linke\ Seite:\\ \color{blue}a_2=80$

Die letzte Dezimalziffer von $a_{n+1}$ ist  Null. 

Die Aussage ist mit vollständiger Induktion bewiesen!

Ich musste einen von mir gemachten Fehler berichtigen und bitte dafür um Entschuldigung!

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