Hallo, ich habe folgende Aufgabe:
an = 9n + (−1)n-1
Ich soll mit einer vollständigen Induktion zeigen, dass für alle n ∈ N die letzte Dezimalziffer der Zahl an eine Null ist.
Leider weiß ich nicht wie...
Kann mir jemand helfen?
+14993 Hallo Gast!
Vollständige Induktion.
Zeigen, dass für alle \(n\in \mathbb N\) die letzte Dezimalziffer der Zahl \(a_n\) eine Null ist.
Beweis mit vollständiger Induktion
Aussage:
\(a_n = 9^n + (−1)^{n-1}\)
Induktionsanfang:
n=1
Rechte Seite: \(9^1+(-1)^{1-1}=9+(-1)^0=\color{blue}9+1=10\)
Linke Seite: \(\color{blue}a_1=10\)
Die letzte Dezimalziffer von \(a_n \) ist eine Null, und die Aussage ist richtig!
Die Induktionsannahme (I.A) lautet:
\(\color{blue}a_n = 9^n + (−1)^{n-1}\\ \color{blue}Die\ letzte\ Ziffer\ von\ a_n\ ist\ stets\ eine\ Null.\)
Der Induktionsschluss von n nach n+1:
\(rechte\ Seite:\\ 9^{n+1} + (−1)^{n+1-1}\\ 9^{1+1} + (−1)^{1+1-1}\\ =81+(-1)\\ \color{blue}=80\\ linke\ Seite:\\ \color{blue}a_2=80\)
Die letzte Dezimalziffer von \(a_{n+1} \) ist Null.
Die Aussage ist mit vollständiger Induktion bewiesen!
Ich musste einen von mir gemachten Fehler berichtigen und bitte dafür um Entschuldigung!
!
