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Hallo, ich habe folgende Aufgabe:

 

an = 9n + (−1)n-1

 

Ich soll mit einer vollständigen Induktion zeigen, dass für alle n ∈ N die letzte Dezimalziffer der Zahl an eine Null ist. 

Leider weiß ich nicht wie...

 

Kann mir jemand helfen?

 08.05.2023
 #1
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Hallo Gast!

 

Vollständige Induktion.

Zeigen, dass für alle \(n\in \mathbb N\) die letzte Dezimalziffer der Zahl \(a_n\) eine Null ist. 

 

Beweis mit vollständiger Induktion

Aussage:

\(a_n = 9^n + (−1)^{n-1}\)

Induktionsanfang:

n=1

Rechte Seite: \(9^1+(-1)^{1-1}=9+(-1)^0=\color{blue}9+1=10\) 

Linke Seite: \(\color{blue}a_1=10\)

Die letzte Dezimalziffer von \(a_n \) ist eine Null, und die Aussage ist richtig!

 

Die Induktionsannahme (I.A) lautet:

\(\color{blue}a_n = 9^n + (−1)^{n-1}\\ \color{blue}Die\ letzte\ Ziffer\ von\ a_n\ ist\ stets\ eine\ Null.\)

 

Der Induktionsschluss von n nach n+1:

\(rechte\ Seite:\\ 9^{n+1} + (−1)^{n+1-1}\\ 9^{1+1} + (−1)^{1+1-1}\\ =81+(-1)\\ \color{blue}=80\\ linke\ Seite:\\ \color{blue}a_2=80\)

Die letzte Dezimalziffer von \(a_{n+1} \) ist  Null. 

Die Aussage ist mit vollständiger Induktion bewiesen!

 

Ich musste einen von mir gemachten Fehler berichtigen und bitte dafür um Entschuldigung!

laugh  !

 08.05.2023
bearbeitet von asinus  09.05.2023

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