Hallo, ich habe folgende Aufgabe:
an = 9n + (−1)n-1
Ich soll mit einer vollständigen Induktion zeigen, dass für alle n ∈ N die letzte Dezimalziffer der Zahl an eine Null ist.
Leider weiß ich nicht wie...
Kann mir jemand helfen?
Hallo Gast!
Vollständige Induktion.
Zeigen, dass für alle \(n\in \mathbb N\) die letzte Dezimalziffer der Zahl \(a_n\) eine Null ist.
Beweis mit vollständiger Induktion
Aussage:
\(a_n = 9^n + (−1)^{n-1}\)
Induktionsanfang:
n=1
Rechte Seite: \(9^1+(-1)^{1-1}=9+(-1)^0=\color{blue}9+1=10\)
Linke Seite: \(\color{blue}a_1=10\)
Die letzte Dezimalziffer von \(a_n \) ist eine Null, und die Aussage ist richtig!
Die Induktionsannahme (I.A) lautet:
\(\color{blue}a_n = 9^n + (−1)^{n-1}\\ \color{blue}Die\ letzte\ Ziffer\ von\ a_n\ ist\ stets\ eine\ Null.\)
Der Induktionsschluss von n nach n+1:
\(rechte\ Seite:\\ 9^{n+1} + (−1)^{n+1-1}\\ 9^{1+1} + (−1)^{1+1-1}\\ =81+(-1)\\ \color{blue}=80\\ linke\ Seite:\\ \color{blue}a_2=80\)
Die letzte Dezimalziffer von \(a_{n+1} \) ist Null.
Die Aussage ist mit vollständiger Induktion bewiesen!
Ich musste einen von mir gemachten Fehler berichtigen und bitte dafür um Entschuldigung!
!