Hallo, ich habe die Aufgabe:
Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n \(\geq\) 2 die Gleichung \(\sum\limits_{i=2}^{n} \binom{i}{2} = \binom{n+1}{3}\) gilt.
Meine bisherige Rechnung verlief so:
Behauptung: Für alle n \(\geq\) 2 gilt \(\sum\limits_{i=2}^{n} \binom{i}{2} = \binom{n+1}{3}\) .
Beweis:
(IA) \(n=2 \binom{2}{2}=1=\binom{2+1}{3}=\binom{3}{3}\)
Angenommen für ein n \(\geq\) 2 gilt \(\sum\limits_{i=2}^{n} \binom{i}{2} = \binom{n+1}{3}\) .
(IS) Dann gilt:
\(A(n) \rightarrow A(n+1)\)
\(\sum\limits_{i=2}^{n+1} \binom{i}{2} = \sum\limits_{i=2}^{n} \binom{i}{2}+ \binom{(n+1)}{2}\)
\(=\binom{n+1}{3}+\binom{(n+1)}{2}\)
\(=\frac{(n+1)!}{3!\cdot ((n+1)-3)!}+\frac{(n+1)!}{2!\cdot ((n+1)-2)!}\)
\(=\frac{(n+1)!}{3!\cdot ((n+1)-3)!}+\frac{(n+1)!\cdot 3}{3!\cdot ((n+1)-2)!}\)
\(=\frac{(n+1)!}{3!\cdot ((n+1)-3)!}+\frac{(n+1)!\cdot 3\cdot \frac{((n+1)-3)!}{((n+1)-2)!}}{3!\cdot ((n+1)-3)!}\)
\(=\frac{(n+1)! + ((n+1)!)\cdot 3\cdot \frac{((n+1)-3)!}{((n+1)-2)!}} {3!\cdot ((n+1)-3)!}\)
\(=\frac{(n+1)! \cdot (1+3\cdot \frac{((n+1)-3)!}{((n+1)-2)!})} {3!\cdot ((n+1)-3)!}\)
\(=\frac{(n+1)! \cdot (1+\frac{3}{n-1})} {3!\cdot ((n+1)-3)!}\)
Aber an dieser letzten Stelle komme ich nicht weiter, weil ich nicht weiß, wie ich das \((1+\frac{3}{n-1})\) im Zähler loswerde. Hat jemand eine Idee und kann mir vielleicht helfen? Das wäre super.
Vielen Dank schonmal :)
+3976 Seh' den entscheidenden Fehler gerade nicht bei dir, aber wo der Bruch 3/(n-1) herkommt ist mir sehr schleierhaft. Generell kannst du's dir deutlich leichter machen beim Erweitern der Brüche, indem du nicht den rechten so erweiterst, dass er zum linken passt, sondern auch den linken mit berücksichtigst.
Zunächst halten wir fest:
\(\binom{n+2}{3} = \frac{(n+2)!}{3!\cdot (n+2-3)!} = \frac{(n+2)!}{3!\cdot (n-1)!}\)
Da wollen wir also hin. Es macht sehr viel Sinn, sich das vorher klar zu machen - so kann man evtl. im Lauf der Induktion direkt versuchen, den Ziel-Nenner als gemeinsamen Nenner zu nutzen oÄ.. Das Abspalten des letzten Summanden ist auf jeden Fall der korrekte Schritt. Ich übernehm' mal ab Zeile 2:
\(=\frac{(n+1)!}{3!\cdot ((n+1)-3)!}+\frac{(n+1)!}{2!\cdot ((n+1)-2)!} = \\ =\frac{(n+1)!}{3!\cdot (n-2)!}+\frac{(n+1)!}{2!\cdot (n-1)!} = \\ =\frac{(n+1)!(n-1)}{3!\cdot (n-1)!}+\frac{3(n+1)!}{3!\cdot (n-1)!} = \\ =\frac{(n+1)!(n-1+3)}{3!\cdot (n-1)!} \\ =\frac{(n+1)!(n+2)}{3!\cdot (n-1)!} \\ =\frac{(n+2)!}{3!\cdot (n-1)!} \\\)
Ich hoff' das macht soweit Sinn, frag' gern nach wenn was unklar ist!
