+6 Hallo, ich habe schon eine Weile ein Problem mit einer Aufgabe zur Vollständigen Induktion. Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen.
Beweisen Sie unter Verwendung der vollständigen Induktion, dass ∀𝑛 ∈ N: 9 | 4 𝑛 + 15𝑛 − 1. Notieren Sie die Schritte: Induktionsanfang, -voraussetzung, -behauptung sowie den -beweis
Danke
+3976 Da ist dir vermutlich was bei der Aufgabenstellung durcheinandergeraten: 4n+15n-1 = 19n-1 ist schon für n=2 nicht durch 9 teilbar, die Aussage ist falsch und daher nicht zu beweisen.
+3976 Habs noch verstanden - gemeint ist wohl 9 | 4n +15n - 1.
Induktionsanfang:Die Aussage stimmt offenbar für n=1, denn dann ist die rechte seite 4+15-1=18 und das ist ein Vielfaches von 9.
Induktionsvoraussetzung: Wir nehmen nun an, dass die Aussage für eine Zahl n gilt, und folgern daraus im Induktionsschritt, dass sie für n+1 gilt:
Induktionsschritt:
4n+1 +15(n+1) - 1 =
4*4n +15n +15 -1 =
3*4n+15 + 4n+15n-1 =
3*(4n+5) + etwas, was nach IV durch 9 teilbar ist.
Der erste Summand ist genau dann durch 9 teilbar, wenn 4n+5 durch 3 teilbar ist. Das ist aber immer der Fall, denn mod 3 gilt 4n+5 = 1n+2 = 1+2=0.
Damit sind wir fertig.
