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Hallo, ich habe schon eine Weile ein Problem mit einer Aufgabe zur Vollständigen Induktion. Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen.

 

Beweisen Sie unter Verwendung der vollständigen Induktion, dass ∀𝑛 ∈ N: 9 | 4 𝑛 + 15𝑛 − 1. Notieren Sie die Schritte: Induktionsanfang, -voraussetzung, -behauptung sowie den -beweis

 

Danke

 08.02.2022
 #1
avatar+3777 
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Da ist dir vermutlich was bei der Aufgabenstellung durcheinandergeraten: 4n+15n-1 = 19n-1 ist schon für n=2 nicht durch 9 teilbar, die Aussage ist falsch und daher nicht zu beweisen.

 08.02.2022
 #2
avatar+3777 
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Habs noch verstanden - gemeint ist wohl 9 | 4n +15n - 1.

Induktionsanfang:Die Aussage stimmt offenbar für n=1, denn dann ist die rechte seite 4+15-1=18 und das ist ein Vielfaches von 9.

Induktionsvoraussetzung: Wir nehmen nun an, dass die Aussage für eine Zahl n gilt, und folgern daraus im Induktionsschritt, dass sie für n+1 gilt:

Induktionsschritt:

4n+1 +15(n+1) - 1 = 

4*4n +15n +15 -1 = 

3*4n+15 + 4n+15n-1 = 

3*(4n+5) + etwas, was nach IV durch 9 teilbar ist.

 

Der erste Summand ist genau dann durch 9 teilbar, wenn 4n+5 durch 3 teilbar ist. Das ist aber immer der Fall, denn mod 3 gilt 4n+5 = 1n+2 = 1+2=0.

 

Damit sind wir fertig.

 08.02.2022
 #3
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Vielen Dank 

Gast 09.02.2022

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