Vollständige Induktion

\(2^n > n^3 \ \ \forall n\geq 10\):

Induktionsanfang mit n=10:

2¹⁰ = 1024 > 1000 = 10³  - passt!

Wir setzen's nun voraus für eine Zahl n und folgern's für n+1:

\(2^{n+1} = 2 \cdot 2^n = 2^n+2^n > n^3 + n^3\)

So weit kommen wir schonmal mit der Induktionsvoraussetzung. Wir wollen am Ende aber \(2^{n+1} > (n+1)^3 = n^3+3n^2+3n+1\).

Betrachten wir hier die rechte Seite, so können wir für n>10 einige Ungleichungen festhalten:

3n²+3n+1 < 3n²+3n+n < 3n²+3n²+n² = 7n² < n³ . (Mach' dir hier klar, warum diese Ungleichungen alle gelten. Frag' nach wenn's nicht klar ist.)

 

Wir sehen also gesamt:

\(2^{n+1} = 2 \cdot 2^n = 2^n+2^n > n^3 + n^3 > n^3 +3n^2+3n+1 = (n+1)^3\)

Das ist die gewünschte Ungleichung. Damit sind wir fertig.

c): Induktionsanfang n=0 (ist das bei euch eine natürliche Zahl? Mag ich persönlich nicht, aber manche Prof's wollen's halt so :D Mach evtl auch den Induktionsanfang für b) nochmal mit n=0.)

a₀ = 2+(0-1)*2⁰⁺¹ = 2-2=0 - passt!

Wir nehmen nun an, dass wir a_n schreiben können als 2+(n-1)*2ⁿ⁺¹ für eine Zahl n und folgern, dass das auch für n+1 geht. Dafür benutzen wir aber zunächst die Vorschrift im oberen roten Kasten:

\(a_{n+1} = (n+1)2^{n+1} + a_n = \ \ |IV \\ (n+1)2^{n+1} + 2+(n-1)2^{n+1} = \\ 2 + 2n \cdot 2^{n+1} = \\ 2 + n \cdot 2^{n+2} = \\ 2 + ([n+1]-1) \cdot 2^{[n+1]+1}\)

 

Im letzten Schritt zeig' ich nur nochmal, dass das genau die angegebene Vorschrift aus dem unteren roten Kasten ist, aber mit n+1 statt n. Damit sind wir fertig.

 

Bilder kannst du übrigens auch direkt hier rein posten, ohne den Umweg über einen Link. Hat auch den Vorteil, dass jeder gleich dein Bild sieht, ohne einem (eventuell dubiosen) Link folgen zu müssen.

 

Ich hoff das hilft, frag' gern nach wenn's noch probleme gibt!

wow du bist wirklich klasse aber was kann ich unter | IV verstehen?